评斯图尔特·夏皮罗的“数学与客观性”

吉迪恩·罗森

斯图尔特·夏皮罗间接地处理数学的客观性问题。他不是探求数学事实是否以某种方式依赖于人的思考，而是探求数学言谈展现的是否就是赖特所谓的认知律令。他在本章里预先假定这些观念都以一种简单的方式联系在一起：

如果言谈不能展示认知律令，那么言谈所涉及的事实就不是客观事实。

在这篇评论中，我对这项原则提出疑问。

假设你我之间对瓦格纳的歌剧《尼伯龙根的指环》所展现的美看法不同。你说这是一部杰作，我说它很无聊。假设我们都认同歌剧及其背景音乐非常优美，观看演出时我们也都没喝醉或是注意力不集中，我们的判断作为对外界的反应是稳定的，那么，即便我们双方都牢牢把握基本事实，双方都没犯推理上的错误，我们仍会有不同的见解。迫于要解释这种分歧，我们可能会将问题简化认为我们之间的分歧仅仅是因为我们对这个问题存在着彼此不相容但各自协同一致的审美感受。

粗略地讲，如果每一项分歧要不就是不同的输入——即争议双方可获取的信息有差别——的结果，要不就是某种认知障碍或推理出错的结果，那么认知律令就会在某个地方显现。上面这个例子表明审美言谈（aesthetic discourse）没能展现认知律令，因此鉴于上述前提，这个审美事实就不是客观事实。夏皮罗认为（有一些限定条件），数学言谈以完胜的姿态通过了检验，因此就目前的这一标准而言，我们没有任何理由怀疑数学的客观性。

这是正确的吗？近代数学已经是一个从公理出发通过规则来证明定理的体系，因此任何不是由简单错误造成的数学分歧总可以追溯到要不就是公理方面的分歧，要不就是逻辑规则方面的分歧。让我们暂时将逻辑分歧放在一边。逻辑分歧是一个重要问题，但正如夏皮罗所指出的，这个问题很难在赖特的框架内讨论。如果我们聚焦于公理方面的分歧，那么首先要强调的（正如夏皮罗做的那样）就是，虽然这种分歧偶尔在数学里出现（例如，关于几何的平行公设的争论），但近代数学已经有一套解决这个问题的标准方法。这个想法是把有争议的公理当作特殊数学结构的定义条款。譬如几何学家曾对平行公设的绝对真理或虚假的性质有不同的意见，而近代数学家则会说：“有些空间是欧氏的，有些则不是，这条公理之所以在每个欧氏空间下成立，是因为满足该公理是构成欧氏空间的条件的一部分。但它在其他空间下未必成立，这方面例子很容易给出。”对于这个解释，探求这条公理是真还是假是没有意义的，因此对其真理性的认识是否达成一致也没有意义。

数学上的表观冲突通常可通过这种方式来解决，但情形并不总是这样。数学的一个核心问题是确立满足各种条件的数学对象的存在性。现在，存在性的证明总是需要至少一条存在性公理。如果某人检验实数域下的数学，会发现我们总是能够简单合法地断言存在自然数和某些自然数的集合。这些存在性断言不单纯是条件或假设。当数学家通过构造（譬如说）R3上的一组公理（模型）证明了双曲几何的自洽性，他的定理的内容是：“如果存在数，那么一定存在一个公理模型。”他的证明彻底地确立了模型的存在性，这意味着它必然包含至少有一条存在性公理断言。

当然，对于自然数以及由自然数构造的某些数集的存在性，数学界并没有真正的分歧。但在应用认知律令检验时，我们并没限定只专注于有关实数的分歧。即使对于《尼伯龙根的指环》的华美没有实际的分歧（感谢统一的音乐教育），仅仅是上述可能的分歧也足以表明，审美言谈通不过客观性的认知律令检验。同样道理，对于标准数学的存在性要求，仅仅是可能的分歧就足以确立至少在数学的某一部分是存在非客观性问题的，只要这种分歧不会被追溯到“不同的输入”或“推理错误”。

这种分歧显然是可能的。由传统方式培养的数学家发现，基本算术的存在性断言是一望便知的，因此无须证明就可接受。但我们知道，有可能某个人就是认为这些公理不是显然的。毕竟，就有哲学家基于下述两点明确拒绝将其视为当然：（1）它们没有内在的合理性；（2）有利于这一断言的每一项支持性论据均缺乏说服力（Field，1980；另见本书玛丽·伦的文章）。例如，这些哲学家通常会指出，数是某种不可见的、非物质的实体，这种东西的存在性不是显然的。

我想可以将这一点想象成一种真正的感性（sensibility）冲突。有些人认为存在性公理是显然的，因此对其持肯定态度，另一些人认为存在性公理并不完全是显然的，故持保留意见。这算不算一个“不同输入”的问题？当然，公理的情形也不尽相同。但如果我们在运用认知律令标准时把它当作不同输入的问题，那么我们不得不说我们在瓦格纳的歌剧问题上的分歧也是一种不同输入的问题，这将使标准变得无足轻重。推理中的错误或其他一些认知障碍算不算分歧？也许算，但如果把它归结为公理合理性的内在的分歧，我们很难看出为什么应该是这样。

在标准的数学的存在性假设问题上存在各种可能的分歧这一点表明，普通数学可能不会表现出认知律令。由此我们是不是就能得出数学毕竟不是客观的这个结论呢？不能。我们能得出的结论是认知律令是一项有缺陷的客观性标准。客观性在这种意义上是一种形而上学的概念。所谓某个事实是客观的是指它不依赖于任何有趣的思想或语言方式（Rosen，1994）。从这一事实——在“数学合理性”的意义上说数学分歧的变化是可追溯的——我们得不出有关这个问题的形而上学方面的任何结论。如果我们发现，有关上帝的存在性的分歧有时可追溯到神学“感性”上的差异，那么我们是否能由此得出结论：上帝的存在（或不存在）在某种程度上依赖于我们的心灵？我们可以得出的结论只能是，我们关于上帝存在的判断并不是由证据严格强加给我们的。但是，这个结论的要点是这些判断的认知状态，而不是与它们有关的事实的形而上的性质。