数学命题的真实性和客观性

第三节　数学命题的真实性和客观性

在维特根斯坦看来，数学命题具有许多种不同的语法结构，这些结构之间只是通过一些松散的相似之处而相互联系。“2+3=5”这样的数学等式，“a+b=b+a”这样的代数法则，哥德巴赫的那个数学猜想，都属于数学命题之列。他既承认各种各样的数学命题在语法上的区别，又力图对这个概念作出一种概括，对这个词的用法作出明确的限定。

维特根斯坦在其前期著作中已对数学命题作过一些阐述。例如，在《逻辑哲学论》中，他指出：“数学命题是方程式，因而是似是而非的命题。”（v.7，p.254，§6.2）“数学命题不表达任何思想。”（同上，§6.21）他认为在生活中我们所需要的决不是数学命题；只是为了从一些不属于数学的命题中推出其他一些同样不属于数学的命题，我们才利用数学命题。他还认为在证明数学命题时，我们不必将数学命题所表达的东西本身与有关其正确性的事实相比较，就可以认识到它们是否正确。

维特根斯坦在其后期著作《关于数学基础的讲演》、《哲学评论》、《哲学语法》、《哲学研究》以及《论数学的基础》等著作中，都对数学命题作过许多考察。他特别重视数学命题的真实性问题。在早期著作《逻辑哲学论》中，他已提出这样的观点：“命题显示其意义。命题显示当其为真时有怎样的情形，而且说情形就是如此。”（v.1，p.205，§4.022）在其后期著作《哲学评论》中他进一步发挥这个观点：“从一个极其重要的意义上来说，每个有意义的命题必然通过其意义来指导我们应该如何证明这个命题是真实的还是虚假的。‘每个命题都说，如果它是真的，情况如何如何。’而这个‘情况如何如何’，在数学命题中是与其证明方式相联系的。”（v.3，p.159，§148）在这里，他特别把一个命题（包括数学命题）的真实性问题与这个命题的证明方式联系起来考察，认为就命题而言，“真”这个谓词是与“可证明的”这个谓词同义，而“假”这个谓词是与“可反驳的”这个谓词同义。因此，对一个命题的了解，就在于知道这个命题由以被断定的条件，也就是知道那种用以对这个命题进行证明或者反驳的方法。

就数学命题而言，情况也是如此。在他看来，要确定一个数学命题为真，就要提出一种对它的证明，要确定一个数学命题为假，就要提出一种对它的反驳。在谈到对数学命题的证明时，他认为一个已获得证明的命题在它的语法中有一种倾向为真的优势。为了理解25×25=625这个数学命题的意义，我可以问：这个命题是怎样加以证明的?但是，我不能问：这个命题可能被证明吗?因为，说25×25= 625是一个矛盾的证明，这种说法是没有意义的。如果我想提出一个并不取决于命题的真的问题，那么我必须说的是检查它是否为真，而不谈论对它证明或不证明。这种检查的方法符合于人们称之为数学命题的意义的那种东西。他说：“检查真理的方法符合于一个数学命题的意义。如果说这种检查是不可能的，那么‘数学命题’和其他我们叫做命题的东西之间的相似之处就消失不见了。”（v.4，p.343，§23）

人们通常把命题与其真实性联系起来考察，把命题看做某种可以为真或者为假的东西。而说一个命题就是某种可以为真或者可以为假的东西，就等于说：我们把我们语言中可以将真值函项运算应用于其上的那种东西叫做命题。换句话说，符合于“真”这个概念的东西，或者“真”这个概念与之符合的东西，便是命题。维特根斯坦认为这种看法有一定道理，但不准确。因为，如果说只有命题才有可能为真或者为假，这只不过是说我们仅仅对我们称之为命题的东西才作出为“真”或为“假”的判定。在他看来，“命题是什么?在一种意义上，它是由句子的构成规则（例如德语的构成规则）所决定；在另一种意义上，它是由符号在语言游戏中的用法所决定。‘真’和‘假’这两个词的用法也许是这个游戏的组成部分；如果是这样，它便属于我们的命题概念，而不是‘符合于’这个概念”。（v.8，p.75，§136）

维特根斯坦除着重考察数学命题的真实性外，还注意考察数学命题的客观性，他非常强调数学命题作为规则的作用。他说：“毫无疑问，在某些语言游戏中，数学命题与陈述命题相对立，起着陈述规则的作用。”（v.7，p.278，§6）“数学命题确定了一条路；给我们规定了一条路。”（v.7，p.166，§8）例如，1、3、5、7、9……这个数列是通过规则加以规定的，或者说，是通过人们按照规则行动这种做法加以规定的。这是一个坚定不移的命题：按照规则，这个数就跟着这个数列到来。因此，他反复强调：“数学命题具有双重特征——它是定律，也是规则。”（v.7，p.172，§21）

维特根斯坦认为，既然数学命题起着规则那样的作用，因此它具有高度的稳定性。他说：“数学命题具有规则的地位。说数学就是逻辑的，这是对的：它在我们的语言规则之内运动。这赋予它以特别的稳定性，与众不同的、不容置疑的地位。”（v.7，p.59，§165）他形象地把数学命题比喻为有四只脚的凳子，而把经验命题比喻为只有一只、两只或者三只脚的凳子。他说：“数学命题靠四只脚而不是三只脚站立，它是过于稳定了。”（v.7，p.165，§7）

维特根斯坦还认为，既然数学命题能像规则那样发挥作用，因此数学命题在某种意义上也就是一种预言。以“25×25=625”这个数学命题为例。如果我们肯定知道某些人遵守了乘法规则，那就可以预言：当他们做25×25=625这个乘法时，必定会得出625这个结果。这无疑是一个正确的预言。而且，计算在本质上就以这种预言为基础。这就是说，如果我们不能这么肯定地作出预言，我们就不应该把某种操作称为“计算”。这其实是说，计算是一种技巧。他说：“显而易见，数学是以作出预言为目的而交换符号的技巧，它与语法毫无关系。”（v.7，p.171，§18）

对于数学命题的客观性与人们的一致认识这两者的关系，维特根斯坦一方面认为，人们的一致看法对数学命题而言也是适用的。在日常生活中，人们对于大多数事物都有一致的看法，例如，对于这片树叶的颜色，人们大多都会一致认为它是绿色。他说：“这种考虑必定也适用于数学。如果没有完全的一致，某些人就学不会我们所学的技巧。他们的技巧可能或多或少地不同于我们的技巧，甚至直到我们认不出他们的技巧。”（v.8，p.318）另一方面，他又认为数学真理是不依赖于人们的看法的。他说：“数学真理毕竟不以人们知道它与否为转移。”（同上），例如，人们都承认2+2=4这个数学命题是真的。如果所有的人都相信2+2=5，那会是什么样子。在他看来，如果出现这种情况，那就可以设想人们有不同的计算法，或者有一种不应称之为“计算”的技巧。

维特根斯坦从强调数学命题具有客观性，与人的主观心理状态无关这一点出发，批驳了罗素关于数学命题的有关看法。罗素在《数学原则》一书第5节中说过，数学命题具有“如果……那么……”这种形式。维特根斯坦认为，按照罗素的观点，在数学中，只有那些被我们看做原初的命题才是真的，只有那些从这些原初命题中推出的定理才是真的。与此不同，维特根斯坦认为：“这根本不是一个关于自明性的问题；我们之所以接受某个最初命题，并不是由于某种心理状态。例如，如果有人说在北极决不会下雨这一点在他看来是自明的，那我们不应当把这种说法置于逻辑的原初命题之列。”^[4]