行列式的性质

在1.2节中，引入了n阶行列式的定义，并利用定义计算了一些特殊行列式（如上三角行列式等）. 然而，对于一般的n阶行列式，当n较大时，直接利用定义计算将非常烦琐，因此必须进一步研究行列式的性质，以便利用它来简化行列式的计算.

将其中的行与列互换，即把行列式中的各行换成相应的列，得到行列式

上式称为行列式D的转置行列式，记作DT.

性质1　行列式与它的转置行列式相等，即D=DT.

证　记D=det（aij）的转置行列式

则bij=aij（i，j=1，2，…，n），按行列式的定义

由定理2知DT=D.

此性质表明，在行列式中，行与列有相同的地位，凡是有关行的性质对列同样成立，反之亦然.

性质2　互换行列式的两行（列），行列式改变符号.

证　设行列式

是由行列式D=det（aij）交换第i和第j两行得到的，当k≠i，j时，bkp=akp；当k=i或j时，bip=ajp，bjp=aip，于是

其中，1…i…j…n为自然排列，τ为排列p1…pi…pj…pn的逆序数.

设排列p1…pj…pi…pn的逆序数为τ1，则（-1）τ=-（-1）τ1，所以

以ri表示行列式的第i行，以ci表示行列式的第i列. 交换i，j两行记作ri↔rj，交换i，j两列记作ci↔cj.

推论　若行列式有两行（列）完全相同，则该行列式等于零.

证　把这两行互换，有D=-D，故D=0.

性质3　行列式的某一行（列）的各元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式，即

第i行（或列）乘以k，记作ri×k（或ci×k）.

推论1　行列式的某一行（列）的所有元素的公因子，可以提到行列式符号的外面.

第i行（或列）提出公因子k，记作ri÷=k（或ci÷k）.

推论2　行列式的某一行（列）的元素全为零时，则该行列式等于零.

性质4　若行列式中有两行（列）的元素对应成比例，则该行列式等于零.

性质5　若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，例如：

则D等于下列两个行列式之和，

性质6　把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数k后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式的值不变.

例如以数k乘第j列加到第i列上（记作ci+kcj），有

以数k乘第j行加到第i行上，记作ri+krj.

以上没有给出证明的性质，读者可根据行列式的定义自行证明.

性质2，3，6介绍了行列式关于行和关于列的3种运算，即ri↔rj，ri×k，ri+krj和ci↔cj，ci×k，ci+kcj，利用这些运算可简化行列式的计算，特别是利用运算ri+krj（或ci+kcj）可以把行列式中许多元素化为0，进而把行列式化为上（下）三角行列式，从而得到行列式的值. 把行列式化为上三角行列式的步骤为：

（i）若第一列第一个元素为0，先将第一行与其他行交换，使得第一列第一个元素不为0，然后把第一行分别乘以适当的数加到其他各行，使得第一列除第一个元素外，其余元素全为0；

（ii）用同样的方法处理除去第一行和第一列后余下的低一阶的行列式，如此反复下去，直到使它变为上三角行列式，这时主对角线上元素的乘积就是所求行列式的值.

例1.8　计算行列式

解

例1.9　计算n阶行列式

解　注意到行列式的各行（列）对应元素之和相等这一特点，从第2列起，把各列都加到第1列上，得

例1.10　计算行列式

解　从第4行开始，后行减前行，得

可见，计算行列式主要是利用运算ri+krj将其化为上三角行列式，既简便又程序化. 类似地，利用列运算ci+kcj，也可把行列式化为上（下）三角行列式.

例1.11　设

证明：D=D1D2.

证　对D1作运算ri+krj，把D1化为下三角行列式，设为

对D2作运算ci+kcj，把D2化为下三角行列式，设为

于是，对D的前k行作运算ri+krj，再对后n列作运算ci+kcj，把D化为下三角行列式