康托尔对无穷大的新见解

前面我们已经提到，直到康托尔的时代，无穷大在数字意义上一直被认为是一种比所有数都大的数。如亚里士多德所说：无穷大是一个潜在的存在……实无穷将不存在。而康托尔把实无穷作为一个完全有资格的数学事物接受下来，并且坚持认为一个集合包括无限集合必须被看作是一个总体，就像我们的大脑把一个物体看作是一个整体一样。他还指出，否认实无穷就意味着否认无理数的存在，因为这种数有无穷的十进制展开式，而任何有尽小数只不过是一种有理逼近。

不用说，在19世纪表达这种古怪的观点，不亚于一种反叛行为，因为这些观点与当时最伟大的数学家的信条正好相反。康托尔自己也承认这一点。然而，将要来临的风暴从其猛烈程度上是空前的。而且它最终使康托尔的晚年充满灾难。

与这场猛烈的风暴有点不相称的是，康托尔的论断是以两个著名的简单概念为基础的：集合的概念与一一对应的概念。

比较数集的大小

让我们来想一下如何能够比较出两个集合元素的多少吧。当两个集合的元素都是有限的时，一种办法是分别数出两者的元素个数，于是问题就解决了。

但是，假设我们生活在一种数学知识非常有限的文化中，人们最多只能数到“3”。在这种情况下，如果让你比较左手与右手的手指数目，你怎么办呢？注意，这时是不能分别数出两者的数目都是5而得出答案的。因为我们的数系不能使我们数到“5”。于是，我们就无法用数数的方法来比较，在超出我们计数能力的情况下，是否就无法确定“相同基数”了呢？完全不是。实际上，我们不必去数手指，而只需将两手合拢，使左手拇指与右手拇指，左手食指与右手食指……一一对齐，就能够回答这个问题了。这种方法展示了一种纯粹的一一对应关系，然后，我们可以回答：是的，我们左手与右手的手指一样多。

这些例子阐明了一个关键的论据，我们无须去数集合中的元素的个数，以确定这些集合是否具有同样数值。相反，根据一一对应关系来确定同等数量的概念成为一种更原始和更基本的概念；相形之下，数数的方法却成了更复杂和更高级的方法。

也许你会说，我们是会数数的，你假设我们不能够通过数数来比较两个数的集合数目的多少又有什么意思呢？确实，在通常有限集合的比较中，一一对应并不是我们必须选取的方法。然而，当踏入无穷集合这一奇妙的世界时，又会如何呢？让我们再来考虑一个有趣的问题：奇数与偶数相比谁多？

由于两个集合的元素都有无穷多，都是永远数不出的，这种情况下，计数的方法宣布失效了。不过，如果使用一一对应的方法，这个似乎奇怪的问题是容易解决的：偶数2跟在奇数1后面，下一个偶数4呢，跟在下一个奇数3后面……这就很清楚了，每个奇数总可以和跟在它后面的偶数配成对。因此，自然数的一半是奇数，而另一半则是偶数，所有的奇数和所有的偶数是一样多的。当然有些怀疑者会说：能这样比较吗？不过，不管怎样，答案与我们的直觉与常识都是相符的，没有什么可以怀疑的。你看，一一对应的方法挺管用吧。

好了，让我们来继续考虑下一个问题。那就是，偶数与全体自然数到底哪个多？

让我们把每个自然数与它的二倍即唯一的一个偶数配成对，那么所有的自然数连一个也没有漏下，即是说两者之间存在一个一一对应。于是按照刚才的论证，我们要下结论说：所有的偶数是和所有的自然数一样多的。然而常识告诉我们，亚里士多德也这么说过：全体大于部分。既然所有的偶数是在所有的自然数里去掉那些奇数以后才得到的，那么当然就是全体中的一个部分了。你怎么想呢？

“全都乱了套了！”

当以上的想法掠过你的脑海时，你大概会这么对自己说吧。这正是与上面的伽利略悖论完全相似的问题。所谓悖论，就是这样的一种思辨状态，当你用一种理所当然的方式进行推理的时候，得到的是一个结论，而当你用另一种也很理所当然的方式进行推理的时候，得到的却是一个相反的结论。碰到悖论并不是件倒霉事儿，而是一个绝好的机会，因为这表明在整桩事情中间，有某样东西我们还没有弄明白，而它有可能会把我们引向一个新的正确地方，现代伟大物理学家玻尔的同事在和他一起研究一个很棘手的问题时，有一次听见他轻轻地自言自语：“妙极了！我们碰到了个悖论！现在总算有希望取得一些进展啦！”

好了，按照玻尔的逻辑，现在我们就有一个绝好的机会摆在我们面前，就看我们能否把握住它了。悖论的出现意味着某个环节上出了问题。让我们先来分析一下问题究竟出在何处。

在比较两个集合的时候，我们使用了一一对应的办法。难道我们的方法有什么问题吗？似乎不是。对这种一一对应的方法我们觉得倒是挺妙的。那么问题又出在哪呢？想想前面的介绍，你有没有忽然恍然大悟呢？噢，当我们比较这两个集合的时候，我们已经暗中承认了它们可以组成一个集合，即无穷集合。这事实上正是一种实无限的观念。症结找到了。悖论出在我们对实无限的认可。那么如何解开症结呢？

伽利略没有把这个悖论继续考虑下去，他的解决方案是：否定实无限的存在，因为承认实无限意味着会导致不合常识的悖论。

这实际上是一种回避的方式。你还记得人类在解决问题中经常会使用这种方法吗？你还记得我们也多次提到用这种方式往往是无效的吗？确实，当人们面对无法解决的问题时，一种类似条件反射的解决方案就是：回避它。只有在完全无法回避的时候，才有人能够突破旧的观念，提出解决问题的新方案。这样的例子我们真是见得不少了吧。

在伽利略提出他的悖论两个世纪以后，康托尔才重新考虑这一个二难推理的问题：所有的自然数比所有的偶数来得多……所有的自然数和所有的偶数一样多……全体比部分大……

这似乎是一个逻辑的死胡同。事实上，问题的焦点都集中在：全体一定比部分大。对实无限的肯定被这一观念的巨石挡住了。怎么办？难道我们不能反其道而行之吗？只要我们接受“部分能够等于全体”的观点不就解决问题了吗？如果接受了这一新观念，那么实无限的观念也就扫清了障碍。是啊，似乎解决问题之道也并不难。真的不难吗？只要想想历史上人类为了迈出这一步，花费了多长的时间你就会明白，唉，要更新一个旧的观念是何等困难的事情。当然，你也马上再次意识到，这种观念的更新会使人类的认识发生何等的飞跃。

可以通过一一对应的方法来比较两个集合的元素多少，实无限是一个确实的概念。

康托尔正是依据两个基本前提，以一种貌似天真的方法，颠倒了前人传统的观念。创立了最令人兴奋和意义十分深远的理论。这一理论使我们进入了一个难以捉摸的奇特世界，凭着天才和勇气，康托尔以完全前所未有的方式，把无穷集这一词汇引入数学，正面探讨无穷，从而进入了一片未开垦的处女地，开辟出一个奇妙无比的新世界。

康托尔对这一概念作出了如下定义：“如果能够根据某一法则，使集合M与集合N中的元素建立一一对应的关系……那么，集合M与集合N等势或者说具有相同的基数。”

这个定义的重要性表现在它并未限定集合是有限集还是无限集。

据此，试图把握无限的康托尔勇敢地踏上了这条充满陷阱的不归路。对无穷集的研究使他打开了“无限”这一数学上的潘多拉盒子。下面就让我们来看一下盒子打开后释放出的是什么。

先来看自然数集。对这个无穷集合的数目，康托尔说是可数的。当然与它可以建立一一对应的集合如偶数集合、自然数的平方数的集合、整数集等等也就都是可数的了。并且可以证实，没有比可数集更小的无穷集合了。或者说，在无穷集合的等级上，可数集是最小的。

既然没有比它更小的，那么有没有比它更大的无穷集合呢？

下一步的研究，非常自然的会取出我们所熟悉的分数（或说是有理数集）来了。

凭直觉，你觉得有理数集会不会是可数集之上的一个新的等级呢？

你会给出什么样的答案，我不知道，但我可以给出康托尔的解答。你可以通过验证来检验一下你的数学直觉如何。

康托尔给出的答案是：否！事实上，康托尔给出了两者之间的一个一一对应。

因而，两者是等势的。有理数集也是可数集。看似多得多的有理数实际上并不比自然数多。怎么样，你的直觉判断如何？

作为有理数的一个较小点但却更自然的推广，我们看一下代数数集如何吧。当然，不妨在看到康托尔的答案之前，你再考察一下自己的直觉。

答案是：代数数也是可数的。怎么样，有没有让你猜中呢？你有没有对此大吃一惊呢？

这里我们不再给出证明的细节了。有兴趣的，可以参看有关的书籍。

好了，下一步就到实数集了。实数集又如何呢？这些都是从未有人想过的问题。然而，康托尔都认真去想了。

1873年11月29日，康托尔给另一位德国数学家戴德金的一封信中，提出了这个问题：“正整数集与实数集之间能否把它们一一对应起来，即正整数与实数是否相等？”实际上，他已经把这个问题考虑了很久，特别是考虑连续性的本质时，他总要碰到这个根本的问题。他在信中说：“取所有正整数的集合，表示为（n），然后考虑所有实数的集合，表示为（x），简单说来，问题就是两者是否能够对应起来，使得一个集中的每一个体只对应另一个集中一个且唯一的个体？乍一看，我们可以说答案是否定的，这种对应不可能，因为前者由离散的部分组成，而后者则构成一个连续统，但是从这种说法里我们什么也得不到。虽然我非常倾向于认为两者不能有这样的一个一一对应，但是我找不出理由，我对这事极为关注，也许这理由非常简单。”

1873年，12月7日，康托尔再次写信给戴德金，说他已经成功地证明，实数集是不可数的，也就是说，不能同正整数集里的元素一一对应起来。

康托尔使用的是反证法。开始他的证明是复杂的，后来他又给出一种极其有名的对角线证法。这一证法简单、漂亮，从逻辑角度不可辩驳地证明了实数集不再是可数集。它是比可数集更高的等级。康托尔称之为不可数集。

康托尔的这一成果在认识有理数与无理数集的内在区别方面也有着重要意义。不论是有理数，还是无理数，在实数轴上是处处稠密的，即：在任意两个有理数之间，分布着无穷多个无理数；反之亦然，在任何两个无理数之间也分布着无穷多个有理数。这样，我们大约可以得出结论：实数轴上一定均匀地分布着两个基本相等的巨大的有理数族与无理数族。然而康托尔的结论表明了两者间的区别绝不仅仅是前者可以写成有限小数或无限循环小数而后者则不能的问题。更大的区别在于：前者是可数的，而后者则是不可数的。不太正规的说，这意味着无理数在数量上大大超过有理数。实数远比有理数多的原因只能解释为实数轴几乎被漫无边际的无理数所淹没。尽管有理数在数轴上处处稠密，然而与无理数相比不过是沧海一粟。数不胜数的有理数当初是如此丰富，现在在实数集中却突然变得似乎无足轻重了。

还有更出乎意料的事情。我们前面已经说明了代数数是可数的，这里又说实数是不可数的，因为两个可数集合在一起不可能得到一个不可数集，于是超越数就是不可数的。这样显然庞大的代数数与超越数相比而言也只成了沧海一粟。有人用充满诗意的语言描述了这种情况：“点缀在平面上的代数数犹如夜空中的繁星；而沉沉的夜空则由超越数构成。”

当康托尔得出这一似非而是的结论时，人们对超越数的认识只限于刘维尔构造的一类超越数，被证明的超越数只有e。关于π是超越数的证明在康托尔的研究后十年才问世。这是何等令人震惊的结果！

构造性与存在性

在康托尔发展他的无穷论时，人们还只发现了非常少的超越数，甚至关于π的超越性还没有出台。人们会更自然地认为，超越数只是实数中的一种例外，而不是一种常规。而康托尔又一次将例外转化为常规。

他证明了超越数不但存在，而且还远远多于代数数。这是一个真正引起争论的定理，因为人们毕竟只知道极少的几个非代数数的存在。而康托尔却十分自信地说，绝大多数实数是超越数，但他在作出这种推断时却没有展示出任何一个具体的超越数实例。相反，他只是“数”区间中的点，并由此认为，区间中的代数数只占很小一部分。

这种证明超越数存在的间接方法真是令人吃惊。这就是29岁的康托尔在1874年划时代的杰出论文中留下的宝贵遗产。许多数学家看到康托尔的结论，都惊异地摇头或干脆表示怀疑。在保守的数学家看来，接受实无限的观念、比较无穷的大小简直就像是这位有点儿神秘兮兮的年青学者搞的一场浪漫而荒唐的恶作剧。断言有大量的超越数存在，却又举不出一个实例，真是十足的愚蠢。于是，在对康托尔激烈的反对中，就不但涉及到实无限观念问题，还牵涉到证明的方法问题。

在数学中常用的证明方法有两种：构造性证明与存在性证明。此处可以简单提一下数学中的这两种思想。

给出二次方程求根公式，以表明二次方程解的存在性；刘维尔通过实际地生成一类数，并证明它们是超越数，从而证明超越数的存在……这都是典型的构造性证明。在数学发展中，构造性方法被使用得更广泛一些。许多数学著作，存在性都是通过实际获得或显示出问题中的量而建立起来的。

康托尔证明了超越数大量存在，却没有构造出一个具体的超越数！这是典型的存在性证明。

存在性证明的使用并非是从康托尔开始的。早在古希腊这一方法就被使用了。高斯对著名的代数学基本定理的证明也是非构造性的。

虽然以前此种方法被大量使用，但非构造性的证明方法，对心目中虚无缥缈的对象就断言它的实际存在，人们总觉得似乎不可思议。与康托尔大约同时，希尔伯特也以极端漂亮和动人的方式运用这种方法解决了一个重要的不变量问题。但对希尔伯特的存在性证明，当时的“不变量之王”数学家果尔丹说：“这不是数学，这是神学！”他认为这种存在性证明不是属于数学的。

希尔伯特充分认识到存在性证明的深刻意义和价值，对于固守构造性证明方法，认为非构造的存在性证明毫无意义的人，希尔伯特给予了有力的回答：“纯粹的存在性证明之价值恰恰在于，通过它们就可以不必去考虑个别的构造，而且各种不同的构造包摄于同一个基本思想之下，使得对证明来说是最本质的东西清楚地突现出来；达到思想的简洁和经济，就是存在性证明生存的理由………禁止存在性证明……等于废弃了数学科学。”他对这种证明方法给予高度评价：“在我们这门科学的历史发展中，纯粹的存在性证明始终是最重要的里程碑。”

康托尔、希尔伯特关于存在性证明的数学思想产生了巨大的影响。人们逐渐认识并接受了他们的工作所产生的革命性影响。果尔丹后来也向希尔伯特的成功表示了敬意，针对以往的怀疑和否定态度，他优雅地说：“我终于相信神学也有其优点。”

这两种方法都是数学证明中的常用方法。事实上，对此的争论一直没有停止。著名数学家魏尔认为，非构造性的存在证明告诉世人宝藏的存在，但并未说明其地点。当用这样的证明来代替构造性证明时，其重要性和价值不可能毫无损减。许多数学家喜欢存在性的“构造式”证明，因为它常常提供关于“所构造的”对象的更精确的信息，但当没有别的证明时他们也承认“非构造”证明。康托尔、希尔伯特的努力曾使得存在性证明在20世纪一段时期内成为主流观点。但随着电子计算机的广泛使用，构造性观点现在又得以复兴。