第四维与相对论

至于第四维与爱因斯坦相对论的关系，那是有目共睹的。庞加莱于1898年发表的一篇论文探讨了如何“在一个以时间为第四维的四维空间里建立一种数学表述”，其重要性立刻被爱因斯坦在瑞士联邦工业大学的数学老师闵可夫斯基捕捉到了，并适时传递给了学生，尽管数学家本人对这个经常逃学的留小胡子的青年毫无印象。1904年，即发现狭义相对论的前一年，爱因斯坦读到《科学与假设》的德文译本，立刻被书中席卷数学、科学和哲学的气势所感动，从中了解了几何学的基础。可是，直到1912年（庞加莱去世的那年，此时闵可夫斯基已经过世三年），爱因斯坦才恍然领悟到，狭义相对论只有在高度几何化后才能完全广义化。而在广义相对论发表后的第二年，即1916年，德国数学家希尔伯特发出了这样的感叹：“物理学家必须要首先成为几何学家。”

虽然爱因斯坦的相对论诞生已经快一个世纪了，人们对它的理解仍十分肤浅，只知道根据这一理论，时间是相对的，空间是弯曲的，光并不是沿着直线传播的；物质和能量的分布决定着时空的弯曲，这种时空弯曲等同于万有引力。这里我想引用一位物理学家举的例子：“让我们设想有两只飞船。飞船X以每秒10万公里的速度飞离地球。飞船上的观测者和地球上的观测者同时对这一速度进行测量，他们得到的结果是一致的。而飞船Y以与飞船X相同的方向运行，地球上的观测者测量它的速度是每秒18万公里。可是，爱因斯坦预言，如果两只飞船上的观测者来测量它们之间分离的速度时，却是每秒10万公里而不是8万公里。”

这个结果表面上看起来十分荒谬，但可以用爱因斯坦发现的质能转换公式来推导，也即一个质量为M的物质的能量E等于该质量M和光速c（每秒18.6万公里）的平方的乘积。这个公式为爱因斯坦赢得了持久的声誉，“政治是暂时的，而方程式是永恒的”，同时c平方这个庞大的数字也可以解释投放在广岛和长崎的那两颗原子弹的威力。不过，那两次爆炸使得爱因斯坦痛心不已，正是他在1939年致函美国总统罗斯福，指出研制原子能的必要性，并强调美国抢在德国之前发展这一武器的重要性，这封信促进了直接导致第一颗原子弹出现的“曼哈顿计划”的展开。

亨利·庞加莱

如果上述例子仍不足以解释相对论，还有一种办法可以帮助我们理解，那就是试图理解更难的非欧几何学。直到18世纪末19世纪初，几何领域仍然是欧几里得一统天下，笛卡尔的解析几何只是改变了几何研究的方法，并使牛顿和莱布尼茨发明的微积分学表述得更加清晰，却没有从本质上改变欧氏几何本身的内容。欧氏几何赖以存在的前提中有这么一条不那么自明的假设，即“过直线外一点能且只能作一条直线与已知直线平行”，也就是所谓的“第五公设”。这个暧昧的假设引起了数学家的广泛关注，其中大多数人试图证明它，也有的沿着不同的方向，即试图给出相反的假设。

曾经的南锡第一大学—亨利·庞加莱大学徽标

俄国人罗巴切夫斯基就是一个叛逆性的人物，1826年，他在偏远的喀山（那里比莫斯科离哈萨克斯坦更近一些）大学发表了非欧几何学的第一篇论文，这篇论文正是建立在假定“过直线外一点可以引至少两条直线与已知直线平行”的基础上。可是，由于语言的隔膜和交通的不便，这项成果将近十年以后才传递到西欧，几乎就被匈牙利数学家鲍耶抢了先。1854年，德国数学家黎曼发展了罗氏理论而建立起更广泛的非欧几何学，他引进了流形曲率的概念，在三维常曲率空间里有三种情况，即曲率为正常数、零或负常数。后面两种情形分别对应于欧氏几何和罗巴切夫斯基几何，而第一种几何是黎曼本人的创造，它意味着“过直线外一点不能引任何直线与已知直线平行”。

至此，有关非欧几何学的含义就变得比较明晰了，多年以后，庞加莱等人又先后在欧氏空间中给出非欧几何的直观模型，从而揭示出非欧几何的现实意义。无论是欧氏几何还是非欧几何，都存在任意有限维的甚至无限维的空间，庞加莱为物理学家提供了那个以时间为第四维的四维空间，可以看作是非欧几何学的一个特例。闵可夫斯基进一步指出，在这个四维度量空间的长度计算公式里，第四维时间t的平方前面需要加一个负号。这个公式是如此美妙，爱因斯坦的一位同事、物理学家马克斯·玻恩这样感叹：“从那以后，所有的理论物理学家每天都在使用它。”总之，在广义相对论里，空间和时间变成了一种四维结构，只不过这个四维结构的形状被其中的大质量物体扭曲了。这样一来，宇宙就由一块刚性的铁板变成了一个弹性的垫子。