印度算术的发展

第二节　印度算术的发展

十进位值制记数法的使用和印度－阿拉伯数码的出现，不仅在数学史上，而且在全人类文化史上都具有十分重要的意义。这种记数法的产生和完善经历了相当长的时期。

在十进位制记数系统产生以前，在印度出现过各种不同的数字和记数法，有些地区使用的数字保持到很晚，现在很难研究出它们之间的承袭关系。从公元前4世纪到公元3世纪，在现今的东阿富汗地区和旁遮普北部风行所谓的音节数字与当时的古印度音节文字有关。这可能是一种十进非位值制系统。数字1，4，10，20和100用特殊记号表示，其他数由加性原则写出，数字从右往左书写。

很久以来在印度广大领土上传播着婆罗门数字，这是十进位记数法发展的较高阶段，这种数字形式保持了一千多年，佛教和婆罗门数字一起传入其他国家，在个别地区，这种数字一直风行到19世纪。

一般说来，在印度的各种数字系统中，至少从公元前2世纪起，数字1，2，…，9就存在单独的符号，这些特殊符号的存在是产生十进位值制记数法的基础。单位1出现在表示单数事物如“太阳”“月亮”的词语中；而数字2出现在“双生子”“眼睛”“手”这类词语中；数字5出现在“感官”（即五官），“手掌”中等等。数字的书写是从低位向高位，古印度历数书中的天文表就这样表示数字，缺位时用特殊符号标出。

阿耶波多Ⅰ的著作中用音节表示数字，完全没有位值制的特点。每一个数k·10n（k＝1，2，…，9；n＝0，1，2，…）都被特殊音节所代替，丰富的梵文字母能够给充分大的数字命名。但是，他的学生——婆什迦罗Ⅰ却改进了这种记数法，使数字的音节具有位值性，他还引进了表示空位的音节。

大约在6世纪上半叶改变了数字中数位的书写顺序，开始从高位向低位书写，这可能是受希腊人的影响。位值制记数原则包含这样三个因素：①每一位数都由该数位单位乘以相应的数字；②省略每个数位单位的符号；③用确定的符号（零号）表示任何数位上的空缺。所有这些因素在印度首先是局部地、口头地应用，然后过渡到广泛地、文字上的普及。不晚于6世纪，在印度产生了新的、整数的十进位值制记数法，即用九个数字和表示零的小圆圈可以写出任何数字，每个位置上的数字有明确意义，同一个数字在不同位置上则代表不同数值。

7世纪中叶，印度的记数法开始向西方传播。8世纪末，这种记数法传入巴格达哈利发的宫廷中，印度数字经阿拉伯人的改进传入欧洲后就被称为印度——阿拉伯数字了。

在印度的算术文献中记载了整数和分数的八种运算：加法、减法、乘法、除法、平方、开平方、立方和开立方。某些运算是有明确定义的。例如，阿耶波多Ⅱ定义加法是把一些数合并为一个数，而减法则是从一个数中拿掉其中一部分。这些定义在很晚以后欧洲的教科书中还采用。婆什迦罗Ⅰ援引早期无名氏教师的话，认为乘法和除法可以相应地转化为加法和减法。

在古印度广泛使用计算板。梵文中“算术”一词就是由“计算”和“板”两个词复合而成。但是在更早的时期，稍复杂的运算是在用贝壳做成的古算盘上进行。计算人员手拿一个装有几百个长形贝壳的口袋，在算盘各栏中可以摆出数字1，2，…，9；还有12个圆形贝壳，用来表示零（这可能是较晚的事）。现在正统的佛教徒——婆罗门博学者还使用这种方法进行计算。

在使用算盘计算时，要记熟一些法则，即加法的进位和减法的借位。乘、除法则在加、减法的基础上进行。

记载算式的文献很晚才出现。在古代，凡是书写出来的数字不是为了进行计算，而是为记录经文中出现的年代。后来出现了文字运算，但只给出结果而没有中间步骤。这是因为当时的计算工具是一个铺满沙土的盘和一根削尖的木棍。字要写得比较大才能认清，这样在一个数起到它的作用后就把它擦掉，以保留书写空地。加法是从最高数位开始进行计算。例如345＋488是这样进行的：把一个数写在另一个数的下面，对齐数位，并在书写板的上端留出一些空地。计算员说，“3＋4＝7，把7写在最左一列的上头；然后，4＋8＝12，把7改为8，后面写上2，因此7被擦去，而改为82；最后，5＋8＝13，把82中的2改为3，后面再写个3，就得到结果833”。

做乘法有几种不同的方式。

首先例如，5×12，把5擦掉，写上60，把乘数12向左移动一位，然后3×12，得36，把6加在1360的6上，擦去其中的6，写上2，记住往3上加1，把1360中的3改为4，再移动乘数12，最后1×12，把2加在4上，擦掉4，写上6，1字保留不动，得乘积为1620。

另一种计算乘积的方法，与我们现在的程序很接近。在计算板上画上彼此垂直的方格，再把每个格子都用同一方向的对角线分开，沿着格子的两个边写上乘数，中间的乘积写在右下方三角形中，需要进位时记在左上方三角形中，然后依对角线进行加法。还以135×12为例，有时为了化简运算，采取一些简单变换，如

135×12＝135×（12＋8）－135×8

或

135×12＝135×（12－2）＋135×2

印度人的算术运算方法，后来被阿拉伯人和欧洲人所采用。

带有数字0的运算是位值制系统计算的重要内容。印度人不仅仅把0看作是“一无所有”或空位，而且把0看成是一个数。这是印度算术的一大贡献。这种看法在3世纪时已经出现。在天文学家瓦拉哈米希拉的加、减运算。一个多世纪以后，婆罗摩笈多在他的著作中有比较完整的叙述：“负数减去零是负数，正数减去零是正数，零减去零还是零；零乘正数、负数或零都是零。……零除以零空无一物，正数或负数除以零是一个以零为分母的数。”最后一种情形没有进一步说明。婆什迦罗Ⅱ把a÷0称为Khahara，与无穷大有相似的含义。

在印度算术中，分数也有较完整的理论。分数的写法与中国古代算筹分数记法一样，分子在上，分母在下，没有分数线。若是带分数，则整数部分又写在分子之上。

这种程序与中国《九章算术》中开平方的计算步骤是不同的。为了提高精确度，还可以在分子上乘上10的偶数次幂。

由于在计算板上运算不能保留中间运算步骤，所以印度学者采用一种称为弃9法的验算方法，它依据这样的事实：任何整数和它的各位数字之和除以9的余数相同。阿拉伯算术中也采用弃9法验算，这来源于印度，后来又传入欧洲。

在印度的算术著作中，有大量的丰富多彩的以诗歌形式表述的算术问题。这些问题涉及假位法（单设法和双设法）、三位法、百分率和级数等方面。有大量来源于实践的问题，也有一些是纯粹作为消遣和娱乐的题目。

在这些问题中单设法占相当的比例。马哈维拉用单设法解决了大量的代数和几何问题。婆什迦罗Ⅱ也研究过这种方法，在《丽罗娃提》中有这样一个问题：“从一束清洁的莲花取出其三分之一、五分之一和六分之一，分别献给湿婆、毗瑟和苏利耶，再给布赫瓦尼四分之一，只剩下6只莲花，送给尊敬的教师，请说出莲花的数目。”婆什迦罗Ⅱ设所求数为60，即3，4，5，6的最小公倍数，由此可算出应剩3只。

在《巴赫沙里手稿》（6——8世纪）中，单设法不仅用于形如ax＝c的方程，还应用于形如ax＋b＝c的方程。当然，这时简单的比例性质已不成立。

在印度的数学文献中没有见到双设法。伊斯兰的数学文献中却广泛应用这种方法，而阿拉伯人却认为来源于印度。

三位法在印度算术中占核心地位，它能够自由地解决各种实际问题。婆什迎罗Ⅱ甚至说，三位法作为一门科学是算术的实质，它与后来的需要推理和运算技巧的代数学相对照。三位法就是求形成下列具有三个已知数a，b，c的比例式中的x。或如古代数学家所说，回答这样一个问题：“如由a能导出b，那么由c能导出什么数”。婆罗摩笈多说：“在三位法中，第一项与第三项必须是同类的（单位相同的数量），第二项、第三项相乘，以第一项除得结果。”

婆罗摩笈多及较晚的作者提出了“反三位法”。即求比例中的x。例如中世纪著名的工程问题：“a个人完成一项工作要用b天，问同一项工作c个人做要用多少天？”后来还出现了“五位法”“七位法”“九位法”和“十一位法”。

三位法从印度传到西方，在几个世纪之内都是解决算术问题的主要方法，直到19世纪，欧洲的学校教育中才逐渐取消三位法。