命题的涵义

第一节　命题的涵义

一、判断和语句

判断是对思维对象有所肯定或有所否定的思维形式。例如，对角线相等的梯形是等腰梯形；三个内角对应相等的两个三角形必定全等；菱形的四边相等；若∠A＋∠B＝90°，则△ABC为Rt△；π是有理数等。

由于判断是人的主观对客观事物的一种认识，所以判断有真有假，正确地反映了客观事物某种联系的判断，叫做真判断，否则是假判断。

判断作为一种思维形式、一种思想，其形式和表达离不开语言（包括符号的组合）。因此，判断是以语句形式出现的，我们把表达判断的语句称为命题。因此命题又可以说成是可以判断其真假的语句。

数学命题就是表示数学判断的语句，这种语句还可以用符号的组合来表达。在数学中，我们常用p，q，r等来代表任意的命题。这种代表任意命题的符号通常称为“语句变元”。通常我们还采用“1”代表任意一个真语句取的值，以“0”代表任意一个假语句取的值，“1”和“0”都称为“语句常项”。当语句变元p表示一个真语句时，我们说它取真值，记作“p＝1”；否则，我们说它取假值，记作“p＝0”。

二、判断的种类

1．分类标准及判断种类

我们可以按不同的标准对判断进行分类。例如，按判断本身是否还包含其他判断可把判断分为简单判断（本身不包含其他判断的判断）及复合判断（本身包含其他判断的判断）。又因为有些判断是断定某些属性是否属于这个或那个思维对象的，有些是断定思维对象之间的关系的，还有些判断是断定各对象之间的制约关系的，所以，对于简单判断和复合判断还可以进行分类，将其分类为性质判断和关系判断。而在性质判断中再按照判断的质和量以及质量结合，又可分为：肯定判断、否定判断；单称判断和全称判断；全称肯定判断、全称否定判断、特称肯定判断和特称否定判断等。在关系判断中按照不同的关系可分为对称关系判断和传递判断。

对于复合判断，按照组成复合判断的各个简单判断之间的结合情况，又可将其区分为负判断、联言判断、选言判断、假言判断；在选言判断中又分为相容和不相容的选言判断；在假言判断中又分为充分条件、必要条件和充分必要条件假言判断。上述对判断的分类可用下图表示：

判断的分类

2．简单判断

性质判断是指断定事物具有或不具有某种性质的判断，性质判断由四个部分组成：主项，用来反映判断中的对象；谓项，用来反映判断中的对象具有或不具有的性质；联项，用来指明判断的主项和谓项之间所存在的联系语词；量项，用来反映主项的数量和范围，如“所有”“一切”“任何”等叫做全称量词，它们表示对主项的概念的全部外延作了判断；而“有些”“有的”“存在”等叫做特称量词或存在量词，表示对主项的外延的某些部分有所判断。根据使用量词不同，就得到不同的判断：全称判断，特称判断，又若判断是对某一个特定的个别对象作出判断，则可称之为单称判断。现举例如下：

特称肯定判断：有些整数是完全平方数。

全称肯定判断：任何一元二次方程在复数范围内都有两个根。

单称否定判断：△ABC不是等边三角形。

值得注意的是，因为单称判断的谓项是对主项全部外延的判定，所以单称判断也可以看作全称判断。

关系判断：是指断定对象与对象之间关系的判断。关系判断由三部分组成：关系、关系项、量项。关系用于表示事物之间的某种关系，关系项即关系判断所断定的对象，而量项则表示项的数量。数学中常见的关系有对称关系（包括对称关系、反对称关系和非对称关系）和传递关系（包括传递关系、反传递关系和非传递关系）。如AB垂直BC，则BC也垂直AB，所以垂直关系就是对称关系；实数关系：a大于实数b，则b就一定不大于a，所以“大于”关系就是反对称关系；又如a整除b，则b可能整除a，也可能不整除a，所以整除关系为非对称关系；a＞b，b＞c，则a＞c，所以“＞”是传递关系；在平面内，AB垂直BC，BC垂直CD，则AB一定不与CD垂直，所以在同一平面内的垂直关系是反传递关系。

3．复合判断

负判断（也称否定判断）是指在一个判断语句前面加上逻辑联词“并非”而构成的判断。

联言判断（也称合取判断）是指用逻辑联词“且”将两个判断结合起来得到的，用来断定几种事物情况同时存在的判断。

选言判断（也称析取判断）是指用逻辑联词“或”将两个判断联结起来得到的，用来断定几种事物情况中至少有一种事物情况存在的判断。

假言判断是指断定一类情况的存在是另一事物情况存在的条件的判断，所以又可称之为条件判断。

在假言判断中，有充分条件假言判断、必要条件假言判断和充分必要条件假言判断。下面我们着重讨论充分条件假言判断和充分必要条件假言判断。

充分条件是这样一种条件，有了它一定有某一结果。具有这种关系的假言判断称为充分条件假言判断。如“若某数能被6整除，则它必能被2整除”，就是充分条件假言判断。充分条件假言判断的逻辑联词为“如果……，那么……”，“若……，则……”等。

充分必要条件就是这样一种条件，有了它一定有某结果，而没有它就一定没有这一结果。具有这种条件关系的假言判断就是充分必要条件假言判断，其逻辑联结词为“当且仅当”，“必须且只须”，如一个三角形是等边三角形，当且仅当它是等角三角形。

否定判断、合取判断、析取判断、假定判断，是复合命题中最简单、最基本的形式。由这些基本形式，利用命题演算的规则，进行各种组合，可以得到更为复杂的复合命题。