数学思维品质的培养

第三节　数学思维品质的培养

思维的发生和发展，既服从于一般的、普遍的规律，又表现出个性的差异。这里所说的个性差异指的是对于不同的个体，具有不同的思维特点。个体思维活动的特殊性的外部表现称之为思维品质，它是评价和衡量学生思维优劣的重要标志。思维品质的差异实质上表现为人的能力的差异，因此在数学教学中要重视对学生良好的思维品质的培养。

一、思维的深刻性

思维的深刻性是指思维活动的抽象程度和逻辑水平，它集中表现在善于透过现象和外部联系，揭示事物的本质和规律，深入地思考问题，系统化、一般化地解决问题。深刻性是思维品质诸特性中最具基础和较为深刻的要素，对其他品质特性具有统摄与联动作用。思维的深刻性通常具有如下几个内在与外在特征：善于从本质上理解数学对象；善于运用对立统一的观点理解数学对象；善于思辨，敢于质疑问题；善于对学习中的问题深入思考，勇于尝试创造性的学习。

要培养学生思维的深刻性，就必须对课本深钻细研，开发有价值的教育素材，通过精心谋划、设计和组织，让学生的思维活动至少向下述四个特征的方向发展，学会深刻的思维。

1．创“情”设“境”——让学生在知识起点做到理解深刻。例如在概念教学中，通过精心设计，创设思维情境，增加知识的探索与形成过程，以增加学生思考、探索与尝试的体验，是帮助学生深刻理解数学概念本质较为成功的一种做法，目的是要让学生在知识起点就做到深入理解。比如异面直线概念教学，教师让学生每人拿两根小竹竿放在桌面上，观察各种位置关系：除平行和相交外，还存在既不平行又不相交的情况，概括出异面直线概念中不共面的本质属性，给出定义，进而设计出异面直线概念的肯定例证和否定例证，以巩固和深化概念，在完善对空间两条直线位置关系认识的基础上，形成相应的概念系统。

2．触“数”思“形”——让学生在对立统一观点的运用中求深刻的思维。数与形是事物的两个方面，用形帮助学生构建数的认知结构常能获得独到的效果。但课本中的很多代数方程的问题，由于受某些因素的制约，未能再从几何方面引导思考。因此，对某些典型的、启发性强的代数问题，可组织让学生再从形的角度思考。这样处理有利于帮助学生构建数形统一观，促进对问题的深刻思维。

3．引“思”论“证”——让学生在严谨的论证中探求深刻的思维。课本中的结论一般都正确，但教师可引思论证：这个结论正确吗？你能证明吗？以引导学生课后思考、论证，培养他们不轻信迷信，敢于在学习中进行自我定位。

4．循“斑”捕“豹”——让学生在问题探究中学会深刻的思维。课本中的很多问题都有其深刻的背景，或为某一般性结论的特殊情形，或蕴涵着某种规律、方法等。教师要能善于组织学生循“斑”捕“豹”，诱导学生分析归纳、合情推理或延伸探究，就能为学生尝试创造性的学习构筑平台，就能让学生在更深的层次上、更高的观点下加深对问题的理解，就能培养他们善于观察、比较、分析、归纳与探究的意识和能力。这是思维深刻性培养的一个增长点。

二、思维的广阔性

思维的广阔性是指思路宽广，善于多角度、多层次地进行探求。数学思维广阔性指的是对一个数学问题能从多方面考虑；对一个对象能从多种角度观察；对一个题目能想出多种不同的解法，即一题多解。数学思维广阔性的培养具体应从两个方面着手，即一题多种解法和一题的多种演变。

与思维广阔性相对立的是思维单向性，即在解决问题时不善于寻找和运用问题中所需的全部材料，只能从一个方面考虑问题。例如有4×6＝24个方格，每个方格可以放置一个奶瓶，现要放置18个奶瓶，但横竖都要保持偶数，问如何放置？若用“0”表示放奶瓶，很难兼顾题中要求；若用不定方程解，又“小题大做”了。现从反方向来考虑，用“×”表示不放奶瓶，则只需在6个方格上打“×”，使横竖都为偶数就可以了。可见用后面这种方法就简单多了。思维的广阔性要求从多方面考虑问题，上面提到的方面就是平时提到的逆向思维，这对开阔思路是很有益的。

三、思维的灵活性

思维的灵活性是思维活动的灵活程度，主要表现为具有超脱出习惯处理方法界限的能力。即一旦所给条件发生变化，便能改变先前的思维途径，找到新的解决问题的方法。思维的灵活性主要表现为随新的条件而迅速确定解题方向；表现为以一种解题途径转向另一种解题途径的灵活性；也表现为从已知数学关系中看出新的数学关系，从隐蔽的形式中分清实质的能力。在教学中应具体从以下几方面人手去培养学生的思维灵活性。

1．培养善于观察的能力。任何一道数学题都包含一定的数学条件和关系。要想解决它，就必须依据题目的具体特征，对题目进行深入的、细致的、透彻的观察，然后认真思考，透过表面现象看其本质，这样才能确定解题思路，找到解题方法。

2．培养善于联想的能力。稍具难度的问题和基础知识之间的联系都是不明显的、复杂的。因此怎样解题，解题的速度如何，取决于能否由观察到的特征，灵活运用有关知识，作出相应的联想，将问题打开缺口，不断深入。

3．培养善于进行问题转化的能力。解题过程是通过问题的转化才能完成的，恰当的转化使问题变得熟悉、简单，使抽象问题转化成具体问题，未知问题转化为已知问题。

思维灵活性的反面是思维的呆板性，或称心理惰性，其表现是思维定势。知识和经验经常被人们按照一定的、个人习惯的“现成途径”反复认识，这就产生了一种先入之见，使思维倾向于某种具体的方式和方法，使人在解题过程中总是遵循业已知道的规则系统，即思维定势。它是发明和创造性活动的极大障碍。

但也有好的一面，即在解同一类型问题时，可不必重新安排解题程序。因此教师应帮助学生克服思维呆板性的消极一面，及时引导学生在新的情况下寻找新的解题途径。

四、思维的独创性

思维的独创性是指思维活动的创新程度。它表现为思考问题和解决问题时的方式方法或结果的新颖、独特、别出心裁。这里的“独创”不只是结果的独创，还包括思维活动是否有创造性态度。善于发现、解决和引申问题是思维独创性的具体表现，它较多地寓于数学直觉思维和发散思维之中。

思维独创性的反面是思维的保守性，它的主要表现是思维受到限制，落入俗套从而产生思维的惰性。消除学生思维保守性的方法是在加强基础知识学习和基本技能训练的前提下，提倡让学生独立思考，从分析问题的特点出发，去探求新颖独到的解决方法。

五、思维的敏捷性

思维的敏捷性是指思维活动的反应速度和熟练程度。它表现为思考问题时敏捷快速，善于运用直觉思维，善于使用数学模式。敏捷是以准确为前提，是建立在掌握了扎实的基础知识和熟练的基本技能，正确领会知识和把握问题的实质的基础之上的。

六、思维的批判性

思维的批判性就是善于发现问题，提出疑问，辨别是非的一种思维品质。批判性的思维是一种实事求是、周到缜密的思维。思维的批判性主要体现在以下几方面：

1．对已有的数学表述能提出自己的看法，不盲从附和。例如费尔玛猜想：当n为任意自然数时，F_n＝2²ⁿ＋1都是质数。欧拉对此感到怀疑，并且举出n＝5时，F_n就不是质数，从而否定了费尔玛猜想。

2．能严密地、全面地利用已知条件，在关键之处能及时、迅速地自我反馈。

3．有能力评价解题思路是否正确。用批判性的态度去分析解题过程，发现其中的不足，不断加以改正和完善，这也是批判性的体现。

培养学生思维的批判性是首先要落实在数学概念和命题的教学中。