弹性变形与弹性定律

第四节　弹性变形与弹性定律

诸如竹弓、弹弓、箭弓一类利用了材料的弹性形变性能的工具，为古代人所熟悉。随着金属冶炼技术的提高，沈括所描写的一种剑的弹性变形颇为令人赞叹。他说，该剑“用力屈之如钩，纵之铿然有声，复直如弦”；他又见一剑，“可以屈置盒中，纵之复直”。他因此相信西晋文学家张景阳论剑所赞扬的上等好剑：“若其灵宝，则舒屈无方。”。另一西晋文学家刘琨也曾疆美百炼钢说：“何意百炼钢，化为绕指柔。”。这些描写中所涉及的剑或钢，犹如今日钢制弹簧卷尺。可见，金属的弹性变形亦是古代人熟悉的东西。

古代人还发现了蚕丝的拉伸弹性。宋应星在记述丝绸工人连接断丝时写道：“接连断丝，一扯即长数寸。打结之后，依还原度。此丝本质自具之妙也。”宋应星将蚕丝的拉伸弹性归之为“此丝本质自具之妙”，是相当合理的。

古代人以“缕悬法”悬吊指南针，实则利用了蚕丝的扭转弹性。沈括在其著《梦溪笔谈》中对此记述颇详。18世纪80年代初，米切尔和库仑（1736—1806）各自独立地发明了以毛发、蚕丝和金属丝悬吊的扭秤。中国古代的“缕悬法”可以看做是近代扭秤一类科学仪器的悬挂方法之肇始。它们都利用了某些物质所具有的扭转弹性。

值得指出的是，在唐代段成式《酉阳杂俎·前集·诡习》中已有“弹力”一词。

很可惜的是，早在春秋战国时期，人们已制造了弹簧，包括金属螺旋弹簧和盘簧，但它们只是狩猎工具中弓箭的一种附件而已。汉以后并未发展成为实用的机械或机械部件。

中国人发现弹性定律并非在弹簧上，而是在弓箭上发现的。弓箭制作之后，要测量其弓力大小，以便将弓配给不同武士或兵士使用。《考工记·弓人》记下宫廷作坊制度中，关于弓箭要求“量其力，有参均”的规定。经过长期反复的测量，汉代郑玄在注《考工记》时终于记载了弓的弹性规律。他写道：

参均者，谓若干胜一石，加角而胜二石，被筋而胜三石，引之中三尺。假令弓力胜三石，引之中三尺，弛其弦，以绳缓擐之，每加物一石，则张一尺，故书“胜”。

唐代贾公彦又对郑玄注语疏解道：

此言谓弓未成时、干未有角，称之胜一石；后又安角，胜二石；后更被筋，称之即胜三石。“引之中三尺”者，此据干、角、筋三者具总，称物三石，得三尺。若据初空干时，称物一石，亦三尺；更加角，称物二石，亦三尺；又被筋，称物三石，亦三尺。郑又云“假令弓力胜三石，引之中三尺”者，此即三石力弓也。必知弓力三石者，当“弛其弦，以绳缓擐之”者，谓不张之，别以一条绳系两箫，乃加物一石张一尺，二石张二尺，三石张三尺。

这砦引文中的“干”，指弓干，一般以竹片制成。“角”，是牛角，紧贴在竹片外，作为弓干的复合材料之一。“筋”是牛筋，紧贴角外，也是弓干的复合材料之一。弓干上还有胶、丝、漆，以加固弓千结构。在这里，郑玄述及测量弓干刚度时“每加物一石，则张一尺”；贾公彦更清楚地表述为“加物一石张一尺，二石张二尺，三石张三尺”，这些说法所表达的物理意义正是弓干形变量与其外力成线性比例，也就是平常所说的胡克定律。

英国科学家胡克从1660年起实验了螺旋弹簧、盘簧、金属丝等弹性体，发现了其中弹性规律，他写道：

如果一个单位重量的重体把螺旋丝拉伸7某一个长度单位，那么二个重量单位的重体就能将它拉伸二个长度单位，三个重量单位的重体就能将它拉伸三个长度单位，如此类推。

胡克不仅在其实验材料中作“如此类推”，而且还将这规律推广到“所有带弹性的其他物体之中，诸如金属、木料、石块、干土、毛发、兽角、蚕丝、骨骼、肌肉、玻璃等等”，但其弹性规律的表述形式和内容却比郑玄晚了近1500年。

古代人如何测量弓弩的弹力？据文献记载，有两种方法。一是明代宋应星的记述；一是更早时候，即宋代初年的有关记载。宋应星在《天工开物·佳兵·弧矢》中写道：

凡试弓力，以足踏弦就地，秤钩搭挂弓腰，弦满之时，推移秤锤所压，则知多少。

宋应星将此过程称为“试弓定力”，并图画示之。宋应星的画图与文字说明是古代测量弓弹力的方法之一。只是图画中尚未画出“以足踏弦”的情景。严格说来，这种测量方法未曾计及弓高（从弓弦到弓干中央的垂直距离）数值，加之弓体本身的非几何线性，因此要得到弹性定律会有些困难。

自从《考工记》记述弓箭制造方法、郑玄和贾公彦提出其弹性规律之后，宋初大将杨承信（921－964）和弓箭制作使魏丕（919—999）曾以此规律改造弓弩，同时提出了一种科学地测量弓力的方法。据载：

魏丕作场使。旧制床子弩止七百步，上令丕增至千步。（丕）求规于（杨承）信。信令悬弩于架，以重坠其两端。弩势圆，取所坠之物较之，但以二分中增一分，以坠新弩，则自可千步矣。如其制造，果至千步，虽百试不差。

由此记载看，旧弩射700步远，要求改造后新弩射1000步。射程增加了约0．5倍。射程增加，就要求弩的弹性势能相应地增加，也即要求其弩干的刚度增加。杨承信提出，旧弩若坠2分重而弹性位移为某量，新弩当坠3分重而弹性位移与旧弩同。这样，新弩比旧弩刚度增加了0．5倍，或者说，新弩的弹性势能比旧弩增加了0．5倍，如此改造旧弩，就能达到皇上命令之所求，也因而“果至千步”。这是自郑玄之后较早记载的有意识应用弹性定律的实例。

值得注意的是，这条史料记述的数据是留有余地的：射程的增加实际上不足0．5倍，而刚度的增加是准确的0．5倍。这就是，即使计及空气阻力和其他影响，新弩可以射至千步的原因。

这条史料还透露出古代人测试弓力的新方法：“悬弩于架，以重坠其两端。”这就是，将弩干插入弩床后，使弩床直立，在弩干的两端分别悬挂重锤，弩干的形变位移与外力即可测知。这种方法的合理之处，是避免了弓弦的非线性影响，其位移测量值更符合弓干的变形实际。这种测试弓力的方法应当是郑玄时代或先秦流传至宋代的。至于明代宋应星的方法当看做其后的一种简便形式。

郑玄（127－200），字康成，北海高密（今属山东）人，东汉著名经学家。幼时人太学，“日夜寻诵，未尝怠倦”。后游学十余年。归里后，聚徒讲学，弟子多达千人。他“博稽六艺”，“质于辞训”，又精通历算。囚党锢事被禁，遂潜心著述。史称郑玄注解《周礼》是“囊括大典，网罗众家”。因此，关于弓的弹性规律乃郑玄之前的发现甚而是春秋战国之际“百工”中“弓人”所为，也未可知。当然，郑玄也完全有条件发现它。至少可以说，他记下了他的同时代人的有关发现。总之，从《考工记》成书时代起，中国人对弹性定律并不陌生。

贾公彦（生卒年不详，生活于7世纪），沼州永年（今河北永年县境）人。贞观间（627—649）为弘文馆直学士；唐高宗永徽（650－655）中，官至太学博士，数次受高宗召见，与方士、浮屠讲说。撰《周礼义疏》、《仪礼义疏》等书，原书已佚，其部分见解保存在今十三经注疏本《周礼注疏》等书中。在《周礼注疏》中，他再一次肯定了郑玄记述的弓体弹性规律的说法。