正当我国清代中后期数学发展步履缓慢的时候，西欧爆发了一系列资产阶级民主革命，它促进了自然科学与生产技术的飞跃发展，新兴的资产阶级对教育提出了新的要求。
一、17—18世纪的数学课程
1．数学发展迅速，名家辈出
（1）解析几何与微积分的诞生。17世纪40年代，法国数学家费尔马（Femmt，1601—1665年）。与笛卡儿（Desearter，1596－1650年）创建了解析几何学，在代数与几何两大学科之间架设了桥梁，为深入研究函数的形态提供了工具。
费尔马生于法国南部网卢斯附近的波蒙，父亲是皮革商人。费尔马受过良好的家庭教育，他在大学攻读法律，毕业后当过律师。他曾是图卢斯地方议会议员、社会活动家，他清正廉明，恪守公职。他在业余时间博览群书，博识广闻，精通希腊语、拉丁语，从30岁开始迷恋上数学，直至去世。他虽然不以数学为职业，但他把所有业余时间都用在数学上。他在数学的四大分支（微积分、解析几何、概率论、数论）中，都作出了开创性的贡献。1629年，费尔马撰写，《论平面和立体的轨迹》一书，阐述了他在解析几何的原理。在书中，他提出并使用了坐标的概念。美国数学家贝尔（E．Bell）称他为业余数学之王。
1637年，费尔马提出了重要的猜想“方程xn＋yn＝zn，当n≥3，n∈N时，没有整数解”，并写出了n＝4时证明的大意。该猜想被称为费尔马大定理。为了证明这个定理，其他数学家分别作出努力，证明了定理的一些特例成立。例如，欧拉证明了n＝3，n＝4时该定理成立；1823年，法国数学家勒让德证明n＝5时该定理成立；1849年，德国数学家库默尔提出了全新的理想数概念，证明n＝37，n＝59，n＝67时，该定理成立。根据库默尔的理论，n＜100时，该定理都成立。为了攻克这个定理，数学家们奋斗了三百余年。1993年，英国剑桥大学博士、美国普林斯顿大学教授、英国牛津大学兼职教授Wiles Andrew证明了这个著名定理，从而获得了1995－1996年度的沃尔夫奖。
笛卡儿是哲学家、自然科学家、音乐家和数学家。与他那辉煌的数学成就相比，他在其他方面的成就黯然失色。19世纪，英国著名的哲学家、经济学家、科学家穆勒（1806—1873年）说：“笛卡儿的坐标几何远远超过他哲学上的任何成就。”
笛卡儿生于文艺复兴末期，母亲早逝，由于他从小体弱多病，父亲随他所愿学习，从不加限制。他8岁到欧洲著名的教会学校——拉佛莱舍公学学习，校长特许他早上时间自由支配，不必随同学一道早起。自由思考的学术氛围鼓励了他好学多问的性格。
笛卡儿16岁上大学，20岁获博士学位，在欧洲各国扩展视野。1616年，他大学毕业，同年参军。荷兰王子为了使他有更多时间思考，并不让他参战。1619年11月10日，他做了三个奇怪的梦。他对别人说，他的梦像一把打开自然宝库的钥匙，预示了坐标思想的诞生。于是，人们便把这一天称为解析几何的诞生日。
《几何学》是笛卡儿公开发表的唯一数学著作，这本书论述的不仅是几何自身的内容。全书共分三卷：第一卷阐述仅用直线和圆的作图问题；第二卷阐述曲线的性质，展示了坐标思想；第三卷是探究方程的根的性质的代数问题。
此外，笛卡儿在给朋友的信中，还说明了他的闪光的数学思想，例如有关摆线的面积、对数螺线的极坐标方程等。1639年，他已经认识到欧拉在1750年发表的定理，即凸多面体的顶点数－面数＋棱数＝2。
17世纪下半叶，英国著名数学家牛顿（Newton，1642—1727年）和德国数学家莱布尼兹（Leibniz，1646—1716年）创立了微积分学，这是数学发展史上的重大事件，标志着由常量数学转向变量数学。
牛顿生于英格兰的林肯郡，出生前两个月父亲就去世了。两岁时，母亲改嫁，幼年时的牛顿便由外祖母抚养。他12岁到格兰瑟姆镇中学上学，少年牛顿爱搞机械小制作，在制作的过程中感悟到需要学好数学。
牛顿19岁考上剑桥大学三一学院，靠勤工俭学维持学业。在大学里，牛顿认真学习了欧几里得的《几何原本》、开普的《光学》、瓦里士的《无穷小分析》等数学名著。1665—1666年，英国鼠疫流行，学校停课，牛顿两次回家避灾，此时他的学术思想十分活跃，他的三大成就都是在这段时间孕育形成的。这三大成就是：流数术（即微积分）、万有引力定律和光学分析。23岁的牛顿在此时已奠定了科学研究的基础。
牛顿在代数方面的成就，体现在他写成的《广义算术》一书，总结了符号代数的成果，发现了二项式定理，该定理被称为牛顿二项式公式。他对平面曲线的研究也有许多杰出的成果，提出了曲率中心、密切圆的概念，给出了计算曲率的方法。
牛顿有两句自我评价的名言令后人深思：
“我不知道世上的人怎么看我；不过我觉得，我只像一个在海边玩耍的孩子，一会儿捡起一块比较光滑的卵石，一会儿找到个美丽些的贝壳，而在我的面前，真理的大海还没有发现。”
“我之所以比笛卡儿看得远一些，是因为我站在巨人的肩膀上。”
莱布尼兹出生于德国莱比锡一个教授的家庭。他15岁在莱比锡大学学习法律，17岁在耶拿大学学习了短时间的数学，20岁转入阿尔特道夫大学，发表了他第一篇题为《论组合艺术》的数学论文。1672年他作为大使出访法国巴黎，为期四年，同时开始研究伽利略、开普勒、笛卡儿、帕斯卡以及巴罗等科学前辈的思想，这对他的科学生涯产生了重要意义。1673年，莱布尼兹在伦敦停留，被选为英国皇家学会会员。
他的主要数学成就是：①独立地创立了微积分学说，主要是从研究曲线的切线和面积方面引入，他在表达形式上和所引用的符号方面比牛顿高一筹，而牛顿在结合运动学以及微积分的应用方面又比他更为出色。②给出了三阶行列式的展开式，这是西方研究行列式的最初起源。③1679年发表了《几何特性》一书，表述了位置几何学的想法，在给数学家惠更斯的信中提出了组合拓扑的思想。④1679年发表了《论二进制级数》的论文，提出了二进制的思想；认为中国《易经》的八卦图的排列与二进制原理相吻合；从而为计算、理论及控制论首开先河。
牛顿和莱布尼兹各自独立地创立了微积分的学说，这项伟大的成就成为数学发展的第二个高峰。牛顿和莱布尼兹有关微积分的优先权的争论使双方都十分苦恼，英国和欧洲大陆的数学交流因此而中断了近一个世纪。然而，这两位学者从来没有怀疑过对方的科学才能。在一个宴会上，当普鲁士王问到对牛顿的评价时，莱布尼兹回答说：“综观有史以来的全部数学，牛顿所做的工作多于一半。”
（2）分析学的继续发展。牛顿、莱布尼兹只是建立了微积分学的摹本原理和基本框架，这个学说的丰富与完善是由十八九世纪一批优秀的数学家完成的。对微积分学的发展和完善作出重要贡献的数学家分别有：捷克数学家波尔查诺（1781－1848年）用类似现代的方法给出了连续函数的定义，在数学史上首次指出了连续性与可微性是不同的概念；法国数学家柯西（Cauchy，1789—1857年）建立了以极限论为基础的现代微积分体系；德国数学家维尔斯特拉斯（Weierstmss，1815—1897年）建立了极限理论中的ε－δ方法，提出了一致收敛的概念；康托（Canter，1845—1918年）用基本序列定义实数；戴特金（Dedekind，1831—1916年）用分割方法定义了无理数。由于上述数学家的杰出工作，为微积分学建立了严密的理论基础。
与此同时，数学的其他方面取得重大发展，产生了许多新的研究领域。
（3）几何学的继续发展。法国数学家筒沙格（Desar－gues，1591—1661年）提出无穷远元素概念，与他的学生笛卡儿一起，奠定了射影几何的基础；法国数学家蒙日（Monge，1746—1818年）发表了《分析在几何上的应用》，这是微分几何的第一本专著；瑞士数学家欧拉（Eul－er，1707—1783年）建立了曲面理论；德国数学家高斯（Gauss，1777—1855年）引进了曲线与曲面的参数表达式；德国数学家黎曼（Riemann。1826—1866年）提出了流形理论。微分几何的建立和发展使得有可能用分析方法研究几何学。此外，对欧几里得几何第九公设的研究导致非欧几何的建立。德国数学家高斯、匈牙利数学家波耶（Bolyai，1802—1860年）、俄罗斯数学家罗巴切夫斯基（Lobachevski，1793—1856年）分别对非欧几何的建立作出了重要贡献。
（4）代数学的继续发展。数学家们对于高次方程用根式求解的问题进行了深入的研究，特别是挪威杰出的青年数学家阿贝尔（802—1829年）证明了重要定理：一般高于四次的方程不可能代数地求解；法国杰出的青年数学家伽罗华（1811－1832年）在对代数方程的根式可解性的研究中，引入了置换群的概念，成为群论的开创者；1853年，英国数学家哈密顿（1805—1865年）发表了《四元数讲义》，揭示了数的概念有不同维数，开创了用公理方法研究数系的新思路。柯西继承了法国数学家拉格朗日（1736－1813年）和拉普拉斯（1749—1827年）的工作，建立了行列式的系统理论；英国数学家西尔维斯特（1814－1897年）对于用方程的系数行列式研究方程的解做了许多出色的研究，首先提出了矩阵这一术语，在这基础上，英国数学家凯莱（1821—1895年）于1858年在他的论著《矩阵论的研究报告》中系统地阐述了矩阵理论，成为矩阵理论的创始人。
阿贝尔生于挪威首都奥斯陆附近的芬多村，其父是一个牧师、议员。幼年时，父亲给他良好的家庭教育。1817年，他进入中学学习，数学教师激发了他学好数学的强烈愿望。1820年他父亲去世，从此家境恶化。1821年，阿贝尔进入利斯蒂安尼亚大学，专心研究高于四次的一般代数方程的代数解法问题。1824年写出了题为《一般五次以上的代数方程不可能有根式表达式的解》的论文，初次显露了他的数学才华。他毕业后赴巴黎和柏林留学，1826年迁居巴黎，1827年回到挪威，1829年患肺结核病逝世，年仅27岁。他对代数学的发展作出了划时代意义的贡献。世界著名的《纯数学与应用数学》杂志头三卷就发表了他的23篇论文。他的关于五次方程的著名论文，解决了三百多年来悬而未决的问题，开辟了近世代数方程论的道路。他还考虑了一些特殊的能用根式解决的方程，其中的一类被称为“阿贝尔方程”。在这一工作中，他实际上引入了域（field）这一重要的近世代数概念。
他一生贫病交加，却留下了许多创造性的贡献。除了方程论外，他还是椭圆函数论的创始人之一。但是这些工作在他生前均未受到重视，他在大学毕业后长期找不到工作。1829年，柏林大学终于认识到阿贝尔的才华，决定任命他为教授。但当聘书寄达时，阿贝尔因肺结核病不治在两天前已经去世。
以挪威著名数学家阿贝尔命名的数学大奖“阿贝尔奖”设立于2002年，该奖仿效诺贝尔奖，每年颁发一次，奖金为87．5万美元，是目前国际数学奖中金额最高的奖项，与诺贝尔奖100万美元左右的奖金额差不多。
挪威政府创立该奖的目的固然是为了纪念挪威人引以为自豪的伟大数学家阿贝尔，同时也为了弥补科学领域的最高荣誉——诺贝尔奖中没有数学奖的遗憾。在“阿贝尔奖”创立之前，国际数学最著名的奖项当属以已故加拿大数学家菲尔兹命名的“菲尔兹奖”，但该奖奖金少得可怜，不到诺贝尔奖的百分之一，而且限制获奖者在40岁以下。对菲尔兹奖的一个补充是以色列的“沃尔夫奖”，它虽然没有年龄限制，但存在某些非数学的因素。对菲尔兹奖的另一个补充是瑞典颁发的“克拉福德奖”，它是为非诺贝尔奖的专业而设，包括数学、地球物理等，但每个学科每六七年才轮到一次，影响力有限。
与以上奖金相比，阿贝尔奖虽然设立时问较短，但是由于奖金数额巨大，很快在世界上获得承认，目前已经被公认为数学界的诺贝尔奖。2006年3月23日，挪威科学院院长宣布本年度的阿贝尔奖颁发给瑞典数学家伦纳特·卡勒松，以奖励他在调和分析及动力系统方面的贡献。
伽罗华生于法国巴黎附近的一个小村镇，1829中学毕业后，考上了著名的巴黎高等师范学校，第二年因参加反对波旁王朝的“七月革命”而被学习开除。他从小对数学极感兴趣。上中学时，他看到五次方程代数解法所存在的问题，决心攻克这个难关。1828年，17岁的伽罗华写出了五次方程代数解法的论文，但是，由于权威的压制，论文一直未能发表。1832年，伽罗华在他的政敌利用爱情纠葛而挑起的一场决斗中身亡，死时不到21岁。
伽罗华发现，每个代数方程必有反映其特征的置换群存在，利用群的性质，他解决了多年来未能解决的、高次代数方程用根式求解的可能性的判断问题，从而创立了“伽罗华理论”，为群论的建立、发展和应用奠定了基础，从而也是近世代数的先河。伽罗华的数学研究，是在法国大革命的政治动荡时代、学习与研究上遭受打击、利用十分有限的时间完成的。他的数学思想大大超越了他所在的时代。伽罗华的著作，长期无人重视，他的几篇论文在送给当时几位著名的数学家审阅时，有的被丢失，有的下落不明，有的被打入冷宫。然而，伽罗华对自己的数学研究有坚定的信念，在决斗前，他还在积极整理个人的数学手稿，并相信这些手稿对后人有用。果然，到了1846年，他去世后的14年，法国数学家刘维尔发表了他的遗作，并把他的数学遗稿进行汇集，加以出版。在此以后，他工作的意义才逐渐为人们所熟悉。
以上几位在世界上有重大影响的数学家及其工作，他们分别在解析几何、数学分析和近世代数等领域作出了开创性的贡献。他们以及其他数学家的成就，推动了世界数学的发展，也成为近代数学课程发展的伟大动力。
数学发展如此迅速，成果如此丰富，而中小学数学的教学内容却停滞不前，有关改革中小学数学课程的要求就由此而产生了。
2．教育思想活跃，新的课程观出现
17世纪中期，英国爆发了资产阶级民主革命。1789年，法国爆发了大革命。1776年，美国宣布独立。随着资本主义生产力的发展，社会上对科学技术的要求提高了，对劳动者的科学素质与文化水平的要求也提高了，围绕着对未来人才需要的讨论，在教育上也产生了各种各样的理论流派，它们对数学课程的发展产生了不同程度的影响。
（1）夸美纽斯的教育思想。
夸美纽斯（J．A．comennius，1592—1670年）生于捷克尼夫尼兹，是伟大的资产阶级民主教育家，17世纪捷克著名的爱国主义者。他继承了古希腊与罗马的教育思想，吸收了文艺复兴时期人文主义教育的成果，系统地总结了资产阶级对学校教育的要求，撰写了《大教育论》、《泛智学校》等重要著作，奠定了近代资产阶级教育理论的基础。夸美纽斯的贡献主要有：
①提倡泛智教育，这是他一生教育思想和教育活动的核心。所谓泛智教育，就是使所有的人，通过受教育，获得广泛、全面的知识，每个受教育者的智慧都得到普遍的发展。
②阐述了“泛智”的含义，就是指自然科学、社会科学的百科全书式的知识，学校要让学生学习这些知识，以便培养“全知”、“全能”的智慧接班人。他主张教育要适应自然，提出普及初等教育的主张。
③亲自进行初等学校的教学实践，主张除了读、写、算和宗教以外，还要学习几何、历史、天文等学科。
④在教学上，提出了直观性、巩固性、启发自觉、循序渐进等原则。
他提出了近代初等学校数学教学大纲，分为七个层次：
第一级：数的写法与读法，点及直线的简单定理；
第二级：加法、减法，平面图形；
第三级：乘法、除法，立体物的观察；
第四级：三数法，三角法；
第五级：合股算法，混合算法，假定法，长度，面积，体积：
第六级：用简便法进行全面复习，几何学应用在土木建筑上：
第七级：圣经上出现的神圣的数字及神秘的数字，教堂的建筑，宗教的历法。
夸美纽斯的教育思想，对当今数学为大众的课程观的形成产生了重要的影响。他在上述教学大纲中，提出把算术与几何并列混编，在当时是非常独特的见解。
（2）卢梭的教育思想。
卢梭（Rousseau，1712－1778年）是法国资产阶级启蒙思想家和教育家。他的教育和社会理论大都基于一种信念，即人天生是善良的，但由于社会的腐败而变得乖戾。在他的两本著作《新爱洛奇斯》（1762年）和《爱弥尔》中，建议了一种“使儿童不会变坏”的教育形式。他提出的教育主张是：
①教师利用儿童天然的学习愿望，把他作为一个儿童而不是作为一个成人的雏形来对待。他主张允许儿童通过来自环境，而不是来自教科书的意识进行学习。
②按照不同的年龄特点对儿童进行教育。
③注重劳动教育，主张学生在学习中要手、脑并用。
④在教学中，应该尊重儿童的个性，研究儿童的兴趣，发展儿童的独立精神，最大限度地利用直观性原则，让儿童了解一切事物。卢梭的上述教学观点，成为儿童中心课程理论的重要根据。
⑤卢梭对于几何学习，提出了很好的见解：“先画出正确的图形，把图形结合在一起，用重合的方法研究图形间的关系。这样做不仅仅是研究图形的重合，而是不需要定义，不需要任何证明的形式，仅仅通过观察，就发现了初等几何的全部内容。”上述几何学习观，对当前几何入门的教学和对实验几何课程的设计，都有良好的参考价值。
（3）裴斯泰洛齐的教育思想。
裴斯泰洛齐（J．H．Pestalozzi，1746－1827年）是瑞士著名的教育家和人道主义者。他受到卢梭的影响，他的教育思想又影响了赫尔巴特。他认为，教育必须关注个人智力与气质的发展．必须基于对儿童实际情况的了解，学校生活应该类似于家庭生活。他的教育主张是：
①教育的目的。教育应该发展人的一切天赋和能力，这种能力必须是全面的，包括体、劳、德、美、智等五个方面，这些方面相互作用，才能保证人的协调发展。
②学习顺序。必须从具体经验开始，然后学习词语知识。先学习简单熟悉的事物，然后学习复杂生疏的概念；这些观点为初等学校各科的教学法打下坚实的基础。
③重视数学教育。他认为算术是基础教育中最重要的科目之一，“数学的精神与真理的概念是分不开的”。他把直观性原则、循序渐进原则和一般教学原理结合起来，创立了小学数学教学法的基础。
④数学教学法。数、形和词是数学教学的基本对象，在算术教学中，要通过计算来掌握数字，首先重点弄清个位数的运算及其相互关系，进而学习十位数、百位数，从而促进心智发展，提高运算能力。学生的运算能力，是清晰的、正确的感觉印象的结果；几何图形的教学，应该以实物印象为基础，应该重视基本丽图的训练和能力的培养。
（4）赫尔巴特的教育思想。
赫尔巴特（Herbart，1776—1841年）是德国教育家和心理学家，他在担任哥尼斯堡教育讲座的同时，创办了世界上第一个教育科学研究所。他建立了以心理学、伦理学为基础的教育学体系，毕生为把教育学真正成为一门科学而奋斗。他的教育主张是：
①唯心主义的认识观。他认为，教育的首要科学是心理学，教育的理论基础也是心理学。他主张心理学应该以形而上学为基础，以数学为方法，以经验为内容。他认为，观念是人的心理活动的最基本的素材，一切心理现象都是由各种观念相互作用而产生。任何新观念或新经验的取得，都是对旧观念予以同化或吸收的结果。
②教育学体系。他所主张的教育学体系包括管理、教学与训练三个部分。他主张把训练和形成学生的道德性格看作教育的最高目的，把儿童管理看作实施教育的必要条件。
③以学科教学为主的教育观。他主张把教学论看作教育学的基本部分，认为“教育不能离开教学”，应该通过教学，在传授知识的基础上来培养学生的道德。为此，他提出了“教育性教学”的理论，指出教学应该以多方面的兴趣为基础。这些兴趣，有些引向认识周围现实，有些引向认识社会生活。赫尔巴特指出六个方面的兴趣分别是：经验兴趣、思辨兴趣、审美兴趣、同情兴趣、社会兴趣和宗教兴趣。他认为，应该按照上述六个方面的兴趣，组建中小学学习的科目。
他提出教学的四个阶段是：从注意到明了（静态中钻研），从注意到联想（动态中钻研），从探究到系统化（静态中理解），从行动中掌握到方法（动态中理解）。
④数学教育观。教授数学与讲授物理必须相互结合；引进相互依存的两个量的关系（函数）时，最好从自然界或者从物理学取材，务使学生的生活经验、动手操作与数学学习相互联系起来。
二、数学教育近代化运动
19世纪至20世纪中叶，西方主要国家的资本主义已经发展到帝国主义阶段，社会生产力和科学技术迅速发展，对人才有更高的要求。数学学科已经向纵深方向发展，形成了庞大的体系，然而，中学课程的内容严重滞后于数学学科的发展。另一方面，在资产阶级民主思想和人才观的影响下，教育学家、心理学家提出了一系列新颖的教育思想，对传统的教育观点和教学方法提出了挑战。
数学教育近代化运动在这种历史背景下开始了。这个运动的代表人物是英国教育家培利和德国数学家克莱因。因而，这个运动常常被称为培利克莱因数学教育近代化运动。
1．培利的数学教育主张
培利（Perry，1850—1920年）是英国工程师、数学教育家。1901年，在英国的格拉斯哥召开了数学家、物理学家、教育家联席会议。培利发表了著名演讲，提出有关数学教学改革的重要主张。根据这个演讲，他写成了著作《数学的教学》并于1902年发表。他的主张要点是：
①重视实验与应用。学生学习数学应该以实用为目的，因此，教师要通过实验、实测来进行数学教学；
②数学的价值观。数学是自然科学的武器，应用科学是以数学为基础的，数学能发展应用科学，能提供逻辑思维的方法，从而防止抽象空洞的发展哲学问题的倾向；
③数学教育的目标。即培养高尚的情操，欢快的心情；启发思考，培养逻辑思维能力。学生通过学习数学，可以像使用自己的手脚那样自由运用数学逻辑，终生受益；
④数学教学要从欧几里得《几何原本》中解放出来，要充分重视实验几何，重视各种实际测量和近似计算，要充分利用坐标纸，应该多教一点立体几何，应该尽早地教授微积分概念。
培利的上述主张，得到与会者的广泛支持。
2．克莱因的数学教育主张
克莱因（1849－1925年）是德国著名的数学家，生于德国的杜塞斯朵夫。1865年，克莱因进入波恩大学，成为数学家普吕克的学牛和助手。1870年，他到了巴黎，曾任哥廷根大学教授，为数学教育花费了很大的精力。1908年，在罗马召开的国际数学家大会上，设立了国际数学教育委员会，他被推选为中央委员。在第五届同一委员会上，他被选为该委员会主席。1913年，他担任了普鲁士科学院通信院士。他强调用近代数学观点来改造传统的中学数学内容，极力主张加强函数和微积分的教学，认为要充实代数学的内容，提出用变换的观点来改造传统的几何内容，主张把解析几何纳入中学数学的范围。
克莱因在数学上的主要成就是：
①在接受埃尔兰根大学教授的职位时，发表了题为《关于近代几何研究的比较》的著名演说，把欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何在椭圆、双曲线、抛物线几何学的名目下统一起来。他依据贝尔特兰米的成果，严密地证明了非欧几何的无矛盾性。
②用变换群的观点对几何学进行的分类，把各种几何学统一起来，论证了每一种几何学都有相应的群与之对应。例如，非欧几何就是关于测量群不变量的科学；射影几何就是关于射影去不变量的科学。这种理论被称为埃尔兰根纲领。它支配了在这以后的50年的几何学研究方向。
③证明了几何作图的三大难题为不可能问题。即三等分角、化圆为方、二倍立方体等问题，不可能用传统的尺规作图来实现。
④把群论用到线性微分方程、椭圆模函数、阿贝尔丽数及自守函数的研究，完成了自守函数的奠基性研究工作。
⑤发表了《关于黎曼的代数函数论》，把黎曼面的概念具体化，促进了这个领域的研究。
⑥领导哥廷根大学的应用数学的研究，使之取得与纯数学同样重要的地位。
克莱因在数学教育上的主张是：
①数学教育要适应数学的发展，适应教育科学的进步，要结合学生的心理选取和排列教材；
②在数学教学中要加强数学各分支间，以及数学与其他学科间的联系；
③淡化形式训练，强调实际应用，首次点明数学的实用价值；
④1908年，他的名著《用高观点研究初等数学》出版，提出要用近代数学的观点，改造传统的中学数学。他主张把解析几何纳入中学数学范围，加强函数概念，重视直观几何。
为了纪念克莱因在数学教育上的重大贡献，在2004年7月召开的第十届国际数学教育大会（ICME 10）上，国际数学教学委员会（ICMI）设立了以克莱因命名的数学教育终身成就奖，表彰在数学教育方面有杰出贡献的专家。
3．穆尔的数学教育主张
穆尔（Moore，1862—1932年）是美国数学家和数学教育家，曾任芝加哥大学教授，美国数学会副会长。他对数学的贡献主要在抽象代数、泛函分析、射影几何以及集合论方法等领域。
①在抽象代数方面，他在1893年证明了任何一个有限抽象域都与某一个伽罗华域同构。
②在泛函分析方面，他第一个试图建立线性泛函和算子的抽象理论。
③在射影几何方面，他遵循了皮亚诺的研究方法，对皮亚诺曲线给出了几何解释。
④在集合论方面，他与司密斯于1922年合著了《极限的一般理论》。
穆尔在数学教育上的主张是：
①实验方法是数学教学改革的重要步骤。1903年，他在全美数学年会上作了《关于数学的基础》的长篇报告，使数学与数学教育工作者受到很大的震动。
②在数学教学内容的处理方面，他认为，代数可以作为理论算术来教，几何图形可以与算术一起教，必须引入直观几何，从具体到抽象。
③在数学思想方法的教学上，要教学生正确地观察与思考，正确地推理，用语言、图形和方程表达有关事物。
④在数学学习方法上，学生应该经常进行训练，他们不是被动的听讲者，而是积极的活动家。
⑤在穆尔的推动下，芝加哥大学附中开设了相关数学课程，把教学的重点放在数学的相关与统一上，用综合的方法讲授算术、几何、代数、三角等内容。
4．近代化运动的展开和困难
1908年，国际数学教育委员会对中学数学教学提出了以下的改革意见：
①在数学学科的四个分支（算术、几何、代数、三角）之间建立紧密的联系；加强数学、物理两门课程的联系。
②在中学数学课程中增加高等数学的基础知识（如解析几何、数学分析等），加强初等数学与高等数学的联系。
③在中学数学教学中，要加强函数在算术、代数中的作用，加强运动在几何中的作用。
④改变教科书中关于应用题的解法；加强分析法与综合法的作用。
⑤在数学教学中更广泛地使用探索法。
以培利、克莱因为首的数学教育近代化运动，其目的是改革中学数学课程内容和教学方法，对中学数学产生了深远影响。初等函数在中学数学的地位已经初步确立，上述的一些改革主张在部分国家得到响应。这项运动还有一个目的，就是要统一19世纪中学数学的许多分支，这是在当时难以达到也不必完全达到的。因此，这项工作进行到一定程度就遇到困难，加上两次世界大战的干扰，这个运动就中断了。然而，该运动所提出的改革，在20世纪中叶以后又得到继续。
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