静电场的描绘

实验24　静电场的描绘

模拟法是物理实验的常用方法之一。它是利用几何形状和物理规律等条件在形式上相似的原理，把不便于直接测量的实验在相似的条件下间接地实现，这种方法在科学研究和工程设计中都常常采用。本实验就是用电流场模拟静电场来测试静电场的规律。

【实验目的】

（1）学习用模拟法研究静电场；

（2）测绘静电场的分布，加深对电场的认识。

【实验仪器】

静电场实验仪，直流稳压电源（10V），滑线变阻器，电压表，灵敏检流计，电阻箱，游标卡尺，开关，坐标纸。

【实验原理】

1.直接测量静电场的困难

带电体在它周围的空间产生静电场，静电场可以用电场强度E或电势U的空间分布来描述。电场强度E是矢量，电势U是标量，由于标量在计算和测量上要比矢量简便些，所以常用电势的分布来描述电场的分布。

但是，直接测量静电场的分布往往很困难。因为静电场中无电流，不能使用磁电式仪表直接测量，而只能使用较复杂的静电仪表和相应的测量方法；但用静电式仪表测量就要用到金属制的探头，而伸入静电场中的金属探头将使静电场发生显著的变化，使测量失去意义。

2.用模拟法测绘静电场的可行性

静电场（E场）和电流场（j场）虽然是两种不同性质的场，但是可以看到它们的相似性，例如它们都引入电势U，而电场强度E＝-U；它们都遵守高斯定理；两种场遵循的规律具有相似的形式，即都是用同样的方法来描述：

静电场和稳恒电流场的这种相似性给人们一个启示。如图4-24-1（a）所示，由几个电势为U₁、U₂、U₃的带电体激发的静电场中P点的电势为U时，那么将形状与带电体相同的良导体置于导电介质中的相同位置，加上直流电压，使它们的电势也是U₁、U₂、U₃，如图4-24-1（b）所示，则在导电介质中对应P点位置的P′点的电势U′将和U相同。反过来如果测量出稳恒电流场中P′点的电势为U′，则相应静电场中P点的电势U将和U′相同。

图4-24-1　静电场和稳恒电流场

从上述两种场的方程式和各物理量的比较可以看出：若稳恒电流场和静电场的空间电极形式与边界条件都相同，则这两种场可以相互模拟。这表示通过测量稳恒电流场的电势分布可以了解相应静电场的电势分布。而测量稳恒电流场中的电位比测量静电场中的电位要简单易行得多。因此，用稳恒电流场来模拟静电场是完全可行的。

3.二同轴无限长均匀带电圆柱体间的电场

一般的电场分布是在三维空间中。电场中有许多电势彼此相等的点，测出这些电势相等的点，描绘成面就是等势面。但是导电纸中进行模拟实验时，测出的电场是在一个平面内的分布，这样，等势面就变成了等势线。由这些等势线，根据等势线（面）和电力线正交的关系，即可画出电力线。

由静电场理论可知

可见，电场强度E在数值上等于电势在法线方向上的变化率，其方向指向电势降落的方向。从上式还可看见，如果电场中任意两相邻等势面间的电势差相同，则等势面较密处，场强较大；反之，场强较小。

图4-24-2（a）两个无限长同轴圆柱面A、B之间为真空。当两圆柱面加上直流电压后，两柱面间有静电场。等势面是一系列同轴圆柱面，电场线（电力线）的分布具有柱对称性，则电力线必定位于圆柱面垂直的平面上，并通过轴线。在横截面上的等势线是一系列的同心圆环，电力线呈径向辐射状。如果内圆柱带正电，外圆柱带负电，则电场线起于内圆柱表面，终止于外圆柱，如图4-24-2（b）所示。

图4-24-2　同轴无限长圆柱电极与电场分布图

图4-24-3　电场电路示意图

如图4-24-3所示，设A为内圆柱，其半径为r_a；B为外圆柱，其半径为r_b；电场中任一点C距轴心的距离为r，C点相对于外圆柱的电势差为U_r，其电场强度为

根据高斯定理，电荷均匀分布的无限长圆柱体的场强大小为

式中c是由圆柱体上线电荷密度决定的系数。式（4-24-2）和式（4-24-3）合成后，积分可得

设图4-24-3中的边界条件为

可见，电位U_r为lnr的线性函数。利用换底公式，可把自然对数换成以10为底的常用对数，上式可写成：

验证模拟法的可行性与正确性，即验证模拟场实测电位U′_r与半径r满足式（4-24-6）所表达的关系。

图4-24-4　静电场实验仪

4.实验装置及测绘方法

（1）双层稳恒电流场实验仪。图4-24-4为双层稳恒电流场实验仪，它有上下两层平面，其两平面互相平行。上层是载纸板，用于装上记录纸；下层平台装有导电纸和电极，电极A，B压在导电纸上与接线柱A′，B′相连。当电极A，B接通电源，导电纸上形成电流场。C是同步探针，探针手柄座的上下端各装着一条探针，下端的探针头是小圆珠，借助于弹簧片弹性与导电纸有良好的电接触；上端探针是尖的稍稍离开记录纸纸面，这两条探针始终位于与导电纸平面垂直的直线上，因此运动轨迹相同；实验时移动手柄座，下层探针头在导电纸上移动，而上层探针就会在记录纸上同步地移动。

导电纸是将石墨粉和粘合剂混合后涂在纸上制成，其电阻率比制作电极的金属的电阻率大得多。从理论上讲，导电纸应该是均匀介质，亦即纸上各处的电阻率都是一样的。但由于制作工艺及实验时导电纸被摩损等原因，导电纸难以符合理论上的要求，测绘时会产生误差。

图4-24-5　实验电路图

（2）测绘电流场中等势线的方法。本实验测定等位点所使用的电路是补偿法电路，电路如图4-24-5所示，R为分压器，调R_G可以改变检流计G的灵敏度。当R_G＝0，检流计G指零时，探针C相对于外圆柱电压U_r与电压表两端电压U相等（U＝U_r）。

绘制等位线时，先悬空探针C，调节分压器R的滑动端D，改变电压表的读数为待测的等势线的电位U_r，移动探针C的手柄座，使其下层的探针在导电纸上移动，当检流计G指零时，用上层探针在坐标纸上扎孔记下相应的位置。将所测得的等势点连起来就是等电势线。

重复上述步骤，可找到另一条等电势线。如此重复若干次，就可绘制出电势分布图。

【实验内容与步骤】

1.描绘同轴圆柱电极间等势线

⑴在双层同轴圆柱电极实验仪的上层载纸板上平直地装上坐标纸，测量圆柱电极A、B的半径r_a、r_b。将同步探针C悬空，按图4-24-5连接电路。调节电源使圆柱A、B电极的电压为U_o＝10V。

⑵悬空探针C，调节R的滑动端D，改变电压表读数U_r分别为7V、6V、5V、4V、3V，放入和移动探针C，测出对应的等势线。每条等势线均匀测出16个点以上，靠外圆柱的等电势点应适当增加数目。用虚线把等势点连成等势线（标明电势Ur值）。

注意：a.检流计G使用之前要调零。b.按键K₁是检流计G的短路开关，当检流计的指针不停摆动时，按下K₁可使指针迅速停止摆动，以节省实验时间。c.在测任一等势点之前，检流计的保护电阻R_G先取最大值（约9kΩ），移动同步探针的手柄，使检流计G指零；再把R_G调为零值，移动探针的手柄，使检流计G指零，这时，补偿法电路中的C、D点电位相等，则待测点C对于外圆柱B的电压等于电压表两端的电压，此时可用上层探针在坐标纸上按下与下层点C相对应的位置。d.改变电压表的电压U_r之前，必须先将同步探针悬空，以避免错误。

⑶描绘电力线分布图。在电势分布图上，先对称地找出圆心O，用圆规画出半径为r_a、r_b的10V、0V等势线，根据电力线与等势线的关系，用实线均匀、对称地作出8条电力线，必须标明每条电力线的方向。

⑷在每条等势线上各找5个等电势点，测量其半径r_i，计算平均值r；列表记录U_r、r_理（用（4-24-6）式）

⑸以U_r为纵坐标、lgr为横坐标，用半对数坐标纸作U_r―lgr关系图。

⑹用最小二乘法求出U_r―lgr图的直线斜率b和截距a，列出关系式U_r＝a＋blg r，并分别与理论值式（4-24-6）相比较。

表4-24-1　同轴圆柱截面电场U_r＝a＋blg r实验值与理论值对比数据

2.描绘聚焦电极的等势线和电力线

把图4-24-5中A、B端接到聚焦电极电场描绘仪的电极A、B的接线柱上。电压表分别取2V、3.5V、5V、6.5V、8V，运用上述相同的方法作出五条等势线。若等势线急转弯或两条曲线靠近处，记录点应取得密一些。在描绘仪上层的坐标纸上画出聚焦电极；用虚线描绘等势线，标明每条等势线的电位；用实线均匀、对称地作出若干条电力线，标明每条电力线的方向。不要求对测量结果作定量的计算和验证。注意等势线分布的规律，分析电力线和电场强度的关系。

【注意事项】

（1）导电纸必须保持平整，没有缺损或折叠痕迹，否则导电纸不能被视为均匀的不良导体薄层，模拟场和静电场的分布将不会相同。

（2）由于下探针始终和导电纸保持接触，就要求下探针不要太尖，也不要压得太重（可以调节探针的螺钉），这样可以防止它划破导电纸，以延长导电纸的寿命。

（3）探针的上、下臂和上、下探针应牢固，否则应将其拧紧。

（4）探针应与导电纸面垂直，移动手柄时尽量不要太快，手不要直接接触导电纸。

（5）实验所得的记录纸应附在实验报告上，记录纸上有图名，标明等势线及电力线。

预习思考题

（1）直接测量静电场的困难何在？

（2）什么是模拟法？用模拟法有何条件？模拟法有什么优点？

（3）实验测出的是等势线，怎样画出电力线？一幅完整的实验电力线图应包括哪些内容？

（4）等势线的分布与电力线的分布的关系：电力线与等势线（面）是互相＿＿、电力线的方向是从电位的＿＿等势线指向电位＿＿的等势线，如果电场中任意两相邻等势面间的电势差＿＿，则等势线分布越密的地方，电场强度较＿＿。

（5）本实验中，采用＿＿的电势分布来模拟＿＿的电势分布。描绘等势线的实验电路图4-24-5是＿＿法电路，图中RG的作用＿＿是，RG开始时应取＿＿值，准确测量等势点时RG应取＿＿值。

思　考　题

（1）测试过程中，在检流计发生偏转的情况下，电场是否会发生畸变？为什么？

（2）若将实验使用的电源电压加倍（或减半），实验测得等势线形状和电力线形状是否会发生变化？

（3）若图4-24-3外圈B接电源高电位、内圈A接电源低电位，U_r公式如何？请画出实验电路图。

（4）若两电极（或一个电极）与导电纸间的接触不十分良好（或松紧不同），请问会出现什么现象？