光杠杆法测金属丝的杨氏模量

实验13　光杠杆法测金属丝的杨氏模量

本实验用静态拉伸测量法测量金属丝的杨氏模量，并掌握一种测量微小长度变化的方法——光杠杆法，一种处理数据的方法——逐差法。

【实验目的】

（1）了解杨氏模量的物理意义及其静态拉伸测量法；

（2）掌握用光杠杆测量微小长度的原理；

（3）学会用逐差法和作图法处理实验数据；

（4）学习从诸多直接测量中分析实验结果的主要误差来源。

【实验仪器】

杨氏模量测定仪，光杠杆，镜尺组，砝码（1kg×7），螺旋测微计，米尺，三角尺或游标卡尺等。

【实验原理】

胡克定律指出，在弹性限度内，弹性物体的应力和应变成正比。设有一根长为L，截面积为S的细长均匀金属丝，沿长度方向施力F进行拉伸并发生伸长ΔL时，可得应力σ＝F/S与应变ε＝ΔL/L间的关系曲线，如图4-13-1所示。材料不同，所得曲线有所不同。

图4-13-1　两种材料的应力——应变曲线

从图4-13-1可见，曲线的初始部分是一直线。在此阶段如果卸去外力，则变形也随之消失，此阶段为弹性形变阶段。该直线部分的斜率也即应力与应变的比值，这个比值称为材料的杨氏模量，以E表示。即

在国际单位制中，杨氏模量E的单位为N/m₂。它与外力F、物体的长度L和截面积S无关，而取决于固体材料本身的性质。它反映了物体抵抗正应变的能力，是工程材料中相当重要的一个力学性能指标。曲线越过a点以后，应力和应变不再成线性关系，即不再服从胡克定律，亦即材料进入了塑性形变阶段，最后直到材料断裂。

若金属丝直径为d，则其截面积S＝πd₂/4，代入（4-13-1）可得

本次实验的目的就是利用式（4-13-2）测量金属丝的杨氏模量。根据式（4-13-2）可知，只要测出外力F、金属丝的长度L和截面积S以及金属丝的伸长量ΔL，就可以计算出杨氏模量E。而F、L和d都容易测量，对一般金属丝来说伸长量ΔL都很小，用一般工具无法测得准确，所以测定杨氏模量E的关键是准确测定微小伸长量ΔL。测量微小长度变化的方法很多，而本实验采用的是光杠杆法。这种方法也常用于测量微小角度的变化。

参照图4-13-2安置光杠杆及尺读望远镜，设金属丝未伸长前从望远镜里读得标尺读数为x₀，加砝码m后，从望远镜里读得标尺读数为x1，前后两次的读数差为X＝x₁-x₀。当镜面转过α角时，镜面的法线也转过了α角。由于入射角等于反射角，这时入射光和反射光的夹角为2α角。

图4-13-2　光杠杆原理

若光杠杆平面镜到标尺的距离为R，光杠杆的后足到两前足连线的垂直距离为H，金属丝伸长为ΔL，在α角比较小的情况下，由图4-13-2可知

从上两式中消去α，得

将F＝mg和上式代入式（4-13-3），得出用伸长法测金属丝的杨氏模量E的公式为

【实验仪器与调节】

1.杨氏模量测量仪

杨氏弹性模量测量仪如图4-13-3所示。三脚底座上装有两根立柱和调整螺钉，调节调整螺钉可以使立柱铅直，并由底座上的水平仪来判断。金属丝的上端被夹紧在横梁上的夹具A中。立柱的中部有一个可以沿立柱上下移动的平台D，用于支承光杠杆C。平台上有一孔，孔中有一个可上下自由滑动的夹具B，金属丝的下端由夹具B夹紧。夹具B下挂有一个砝码托盘，用于放置拉伸金属丝所用的砝码。

2.调整杨氏模量测量仪

调整杨氏模量测量仪三脚底座上的调节螺钉，使底座上两立柱及待测金属丝均处于铅直状态，以使下端夹具B能在平台D上的圆孔中上下自由移动，以避免摩擦（并检查金属丝是否被夹具B夹紧）。

图4-13-3　杨氏模量测量仪装置图

将光杠杆放置在平台上，调节平面镜使其法线水平，把光杠杆两前足放在平台前端的横槽内，后足放在下夹具B上，切不可与金属丝接触。

调整平台的上下位置，使光杠杆的三足尖位于同一水平面上。并加1～2kg砝码在托盘上把金属丝拉直。

3.调节光杠杆及望远镜尺组

把望远镜尺组放在离光杠杆镜面约1.5m处，调节望远镜的固定螺钉，使其大致与光杠杆等高。

调节望远镜仰角调节螺钉，使其光轴水平，并正对光杠杆镜面。若直接从望远镜筒的外缘沿水平方向看平面镜，能看到标尺的反射像时，说明望远镜已大致正对光杠杆镜面。

调节望远镜目镜，使眼睛贴近目镜时能看到最清晰的十字叉丝，并使十字叉丝的横线水平，竖线垂直；再调节望远镜的物镜焦距，使标尺的反射像成像于望远镜内的十字叉丝平面上，并做到无视差，即当眼睛上下移动时，十字叉丝与标尺的像之间没有相对移动。

【实验内容与要求】

1.测量钢丝的杨氏弹性模量

先加1～2kg砝码把钢丝拉直再开始正式测量。记下此时十字叉丝对准的标尺读数x′₀，以后每次增加1kg砝码，并记下相应的读数x′₁，一直测到x′₆。填入表格中。

然后再逐次减少1kg砝码，并记下相应的读数x_i″，直至测到x₀″。

将光杠杆在纸上轻轻压出三个足印，用游标卡尺测量出后足至两前足连线之间的垂直距离H。

用钢卷尺测量光杠杆镜面到标尺的水平距离R和上下夹具之间金属丝的有效长度L，用螺旋测微计测量金属丝的直径d，测量次数自己定。

2.实验过程中的注意事项

光杠杆的平面镜和望远镜尺组所构成的光学系统一经调好，实验过程中就不能再有任何移动，否则所测数据无效，实验就要从头做起。特别在加减砝码时要非常小心，轻拿轻放，待系统稳定后再读数。

调节望远镜时，先进行目镜调焦，后进行物镜调焦，次序不能颠倒，一定要做到无视差。

测量金属丝的直径d时，应在金属丝的上、中、下三个部位测量，并且每处的测量都要在相互垂直的方向上各测一次。

【数据处理】

1.用逐差法处理数据

其平均值X为荷载F增加3kg砝码时标尺读数的平均变化量。按式（4-13-4）计算E值，再按下式计算E值的标准不确定度u（E）：

并写出结果表达式：E＝E±u（E）　（N/m₂）

2.用作图法处理数据

以荷重F（N）为横坐标，以标尺读数x（m）为纵坐标，作x—F关系图，在图线上取较远的A、B两点求出直线的斜率K，再由K求出杨氏模量E。

因为砝码是精度很高的标准件，所以其不确定度可以不计。用两种数据处理方法处理此实验数据，求得两个E值。

【注意事项】

（1）平面镜、望远镜尺组一经调好后，在整个实验过程不能再动。否则，数据无效。做实验要特别小心，不要碰撞这一系统。

（2）取、放砝码时，动作要轻，稳定后再读数。

（3）砝码须交错放置，以免倾斜。

【参考表格】

表4-13-1　加减砝码金属丝的变化

预习思考题

实验中各个长度分别用了米尺、游标卡尺、螺旋测微计以及光杠杆望远镜尺组系统共四种测量仪器，为什么？

思　考　题

（1）材料相同，粗细不同的两根钢丝，它们的杨氏模量是否相同？

（2）定量分析各被测量中哪一个量的不确定度对结果影响最大？

（3）做本实验时，为什么要求在正式读数前先加砝码把金属丝拉直？这样做会不会影响测量结果？