测量与误差

时间：2022-02-13 理论教育版权反馈

【摘要】：测量就是由预定的标准与未知量进行定量比较的过程和结果。具体操作就是借助计量仪器把被测量的大小表示出来，即用实验方法找出物理量的测量值。对于验证性测量，常取理论值或公认标准值表示真值。系统误差的大小直接影响到实验的准确度。在一定测量条件下对同一物理量进行多次测量，随机误差的统计分布是唯一确定的，即σ有一确定值。

第一节　测量与误差

一、测量及其分类

测量就是由预定的标准与未知量进行定量比较的过程和结果。具体操作就是借助计量仪器把被测量的大小表示出来，即用实验方法找出物理量的测量值。

测量从形式上可分为直接测量和间接测量，而从测量条件的不同又可分为等精度测量和不等精度测量。

直接测量是指被测量可以用测量仪器（或量具）直接读出测量值的测量。如用米尺测量长度、用温度计测量温度、用电压表测量电压、用秒表测量时间等都属于直接测量。

间接测量是指被测量不能用直接测量的方法得到，而是由直接测量值按一定的物理公式计算得到，这种测量称为间接测量。例如，测量铜柱的密度ρ时，先用尺直接测量出它的直径d和高度h，用天平称出它的质量m，然后通过公式ρ＝4m/πd₂h计算出铜柱的密度ρ，ρ的测量就属于间接测量。

二、误差的定义和表示

在测量中，由于测量仪器准确度有限，测量方法不完善，测量环境和测量人员感觉器官的限制和被测对象不完善等，使测量结果与被测量本身所具有的真实大小，即与被测量的真值之间存在一定的差值，这个差值就是测量误差，并把它称为绝对误差，即

测量误差还可以用相对误差表示，即

这里需要指出，一个量的真值是客观存在的，但它是一个理想的概念，一般说来是不知道的。在实际测量中一般根据测量数据，只能估算出测量的最佳值。对于验证性测量，常取理论值或公认标准值表示真值。

三、测量误差分类及其处理

误差按其产生的原因和性质主要分为系统误差、随机误差两类。

（一）系统误差

在相同条件下（即测量仪器、环境等条件和人员都相同）多次测量同一被测量，其误差的大小和符号保持不变或按某个确定规律变化，这类误差称为系统误差。产生系统误差的原因很多，比如仪器装置本身的固有缺陷或没有按规定条件使用、实验测量依据的理论本身的近似性或测量方法不当、环境条件的变化、以及实验人员本身的生理反应能力或者习惯等等。系统误差的大小直接影响到实验的准确度。

系统误差的特点是它的确定性和可修正性。根据对系统误差的确定性的掌握程度，系统误差又可分为已定系统误差和未定系统误差。

误差的大小（数值）、方向（符号）或变化规律已确知的系统误差称为已定系统误差。如实验仪器零点不准确，实验方法和理论不完善等原因引起的系统误差就属于这一类误差，其特点是，一旦发现，可确定它的大小和正负，从而予以消除或充分修正。例如，用千分尺进行测量前，应先检查其零点的情况如何，若确有零记数，则应记下其大小和符号，然后用实际测量值减去零记数，便得到修正后的数值。

误差的大小、方向和变化规律未能确定或无法确定，但一般情况下可以估计出它的最大变化范围的系统误差称为未定系统误差。如反映各种仪器、仪表及量具制造准确度程度的仪器允差（称为仪器误差Δ_仪）就属于这一类误差，其特点是只知道使用该仪器误差的极限误差，并不确切知道它的大小和正负，因而是无法忽略又无法消除和修正。

仪器的允许最大误差或准确度等级，通常由制造工厂或计量部门使用更精确的仪器、量具经过检定比较给出，一般写在仪器的标牌上或说明书中。如果量具和仪器没有标出允差或准确度等级，我们可以取其最小分度值或其1/2作为该仪器的仪器误差。

（二）随机误差

在相同条件下多次测量同一被测量时，误差时大时小、时正时负，无规则地涨落，但对大量测量数据而言，其误差遵循统计规律，这类误差称为随机误差，也叫偶然误差。产生随机误差的原因是那些不确定或无法控制的随机因素。如观察者视觉、听觉的分辨能力及外界环境因素的扰动等。

1.随机误差的正态分布

实验表明，大多数随机误差（其中包括我们以后经常遇到的多次测量的算术平均值的随机误差以及间接测量结果的随机误差）可以认为近似服从正态分布。标准化的正态分布曲线如图1-1-1所示德国数学家高斯于1895年求出正态分布的数学表达式（正态分布概率密度函数）为：

图1-1-1　正态分布

上式中δ＝x-X为每次测量的随机误差，X为无限多次测量的总体平均值，在消除了系统误差后它就是被测量的真值；ρ（δ）是随机误差δ出现的概率密度；是为了满足归一化（曲线下总面积为1）而引入的常数；σ是决定x的离散程度的参数，称为标准误差，它的数学计算式是：

2.标准误差σ的意义

（1）σ反映了测量的离散性。在一定测量条件下对同一物理量进行多次测量，随机误差的统计分布是唯一确定的，即σ有一确定值。σ越小，离散度就越小，测量精密度越高。

（2）σ具有明确的概率意义。利用概率密度分布函数ρ（δ），我们可以求出由δ＝σ到δ＝＋σ之间的曲线下的面积：ρ（δ）＝（δ）dδ＝0.6827。它表示对于只存在随机误差的测量，在［x_iσ，x_i＋σ］测量区间内包含真值X的概率为68.3。人们把真值所出现的数据区间和概率分别称为置信区间和置信概率（或置信度）。如上面计算，在置信区间［σ，＋σ］的置信概率为68.3。在置信区间［2σ，＋2σ］和［3σ，＋3σ］内的置信概率分别为95.4和99.7。另外由［3σ，＋3σ］内的置信概率为99.7可知，当n→∞时，测量的随机误差绝对值大于3σ的概率已经很小，只有1 99.73＝0.27，即测量1 000次才可能有约3次的测量误差大于3σ，这对于有限次测量，这种可能性更是微乎其微。因此在有限次测量出现这种情况，可以认为是测量失误，或者说该测量值是“坏值”，应予以剔除。所以把Δ＝3σ称为极限误差。