正轴测投影

11.2　正轴测投影

投射方向S与轴测投影面P垂直，将形体放斜，使形体上的三个坐标面和轴测投影面P都斜交，这样所得的图称为正轴测投影图，如图11－2（a）所示。常用的正轴测投影图有正等测投影、正二测投影两种。

11.2.1　正等测投影

1.轴间角及轴向伸缩系数

当投射方向与轴测投影面垂直，且形体的三条坐标轴与轴测投影面的三个倾角均相等时所得到的投影，称为正等轴测投影图，简称正等测图。

由于三个坐标轴与轴测投影面间的倾角相等，则正等测图三个轴测轴间的轴间角一定相等，即∠X₁O₁Y₁＝∠X₁O₁Z₁＝∠Y₁O₁Z₁＝120°。正等测图各轴的轴向伸缩系数均相等，利用立体几何知识可证明出形成轴测图的必要条件是三个坐标轴的轴向伸缩系数的平方和等于2，即p²＋q²＋r²＝2，因而可解得p＝q＝r＝0.82。在画轴测图时，常将O₁Z₁轴绘成竖直的，此时O₁X₁、O₁Y₁轴分别与水平直线成30°角，如图11－3（a）所示。

正等测图在工程上的应用，只是为了直观形象的表达形体，而图形的大小是次要的，其大小不作为度量的尺寸依据，为作图简便，通常将正等测图的轴向伸缩系数由0.82简化为1，即p＝q＝r＝1。采用简化的轴向伸缩系数绘制的正等测图，其平行于各轴测轴的线段长度与形体的实际长度相等，因而可直接量取形体上平行于OX、OY、OZ坐标轴方向的尺寸作图。

采用简化的轴向伸缩系数绘出的正等测图比采用实际的轴向伸缩系数绘出的正等测图放大了1/0.82≈1.22倍，但对描述物体的空间形状和结构并无影响，如图11－3（c）所示。本书后面的正等测图的作图除特别声明外，均采用简化的轴向伸缩系数。

图11－3　正等测图的轴间角和轴向伸缩系数

2.作图方法

由多面正投影图画轴测图时，应先选好适当的坐标体系，画出对应的轴测轴，然后，按轴测投影的投影特性和一定的方法作图。下面介绍几种常用的轴测图的作图方法。

1）坐标法

根据形体表面上各特征点的坐标，分别画出各特征点的轴测投影，然后依次连接成形体表面的轮廓线，这种作图方法称为坐标法。坐标法是绘制轴测图的基本方法，不但适用于平面立体，也适用于曲面立体，不但适用于正等测图，也适用于其他轴测图的绘制。

【例11－1】　根据图11－4（a）所示直四棱柱的三面投影图，画出它的正等测图。

解　（1）分析：直四棱柱的上、下底面为矩形，将选定的直角坐标体系的原点位于矩形的右、后角点，画图顺序宜自上而下。

（2）作图步骤：具体作图如图10－4（b）、（c）、（d）、（e）所示。

①在三面正投影图上定出原点和坐标轴的位置并画出其投影，如图11－4（b）所示。

图11－4　用坐标法作直四棱柱的正等测图

②画出轴测轴O₁X₁、O₁Y₁、O₁Z₁，在O₁X₁轴和O₁Y₁轴上分别量取a和b，得出点Ⅰ₁和Ⅱ₁，过Ⅰ₁、Ⅱ₁分别作O₁Y₁和O₁X₁的平行线，得直四棱柱上底面的正等测图，如图11－4（c）所示。

③过直四棱柱上底面的各角点作O₁Z₁轴的平行线，量取高度h，得直四棱柱下底面各角点，如图11－4（d）所示。

④连接各角点，擦去多余图线、加深，即得直四棱柱的正等测图，图中虚线可不画出，如图11－4（e）所示。

【例11－2】　根据图11－5（a）所示正六棱柱的三面投影图，画出它的正等测图。

解　（1）分析：正六棱柱的上、下底面为正六边形，前后、左右对称，故选定的直角坐标体系的原点应位于正六边形的中心，以便于度量，画图顺序宜自上而下。

（2）作图步骤：具体作图如图10－5（b）、（c）、（d）、（e）所示。

①在三面正投影图上定出原点和坐标轴的位置并画出其投影，如图11－5（b）所示。

②画出轴测轴O₁X₁、O₁Y₁、O₁Z₁，在轴测坐标体系中画出正六棱柱上底边ABCDEF的正等测图：首先在O₁X₁轴上以点O₁为中点对称量取A、D两点的轴测投影A₁、D₁点，使O₁A₁＝oa、O₁D₁＝od；然后在O₁Y₁轴上以O₁点为中点对称量取Ⅰ、Ⅱ两点的轴测投影Ⅰ₁、Ⅱ₁点，使O₁Ⅰ₁＝o1、O₁Ⅱ₁＝o2；接着过点Ⅰ₁、Ⅱ₁作O₁X₁轴的平行线B₁C₁、E₁F₁，使B₁C₁＝bc、E₁F₁＝ef；最后依次连接点A₁、B₁、C₁、D₁、E₁、F₁便得上底面的正等测图，如图11－5（c）所示。

③从各顶点向下引O₁Z₁的平行线，量取正六棱柱高度的实长，如图11－5（d）所示。

④连接各角点，擦去多余图线、加深，即得正六棱柱的正等测图，图中虚线可不画出，如图11－5（e）所示。

图11－5　用坐标法作正六棱柱的正等测图

利用坐标法根据形体的多面正投影图绘制轴测投影图，从前述两例的作图过程中，可以总结出如下两点。

①画平面立体的轴测图时，首先应选好坐标轴并画出轴测轴；然后根据坐标确定各顶点的位置；最后依次连线，完成整体的轴测图。具体画图时，应分析平面立体的形体特征，一般总是先画出形体上一个主要可见表面的轴测图。通常是先画顶面，再画底面；但有时需要先画前面，再画后面；或者先画左面，再画右面。

②为使图形清晰，轴测图中一般只画可见的轮廓线，虚线经常省略不画。

2）切割法

当组合形体是由基本形体经切割而成时，可先画出基本形体的轴测图，再按照切割顺序逐步完成形体的轴测图，这种作图方法称为切割法。切割法适用于绘制以切割方式构成的组合体的轴测图。

【例11－3】　如图11－6（a）所示，试用切割法绘制组合形体的正等测图。

解　（1）分析：通过对图11－6（a）所示的组合形体进行形体分析，可知该组合形体是由一长方体斜切左上角，再在上前方切去一个底面为梯形的四棱柱而成。画图时可先画出完整的长方体，然后再按照切割的顺序逐步切割斜角三棱柱和四棱柱。

（2）作图步骤：具体作图如图10－6（a）、（b）、（c）、（d）、（e）所示。

①确定坐标原点及坐标轴，如图11－6（a）所示。

②画轴测轴，根据尺寸36、20、25作出长方体的轴测图，如图11－6（b）所示。

③然后再根据尺寸8和18作出斜面的投影，如图11－6（c）所示。

图11－6　用切割法作组合形体的正等测图

④沿Y轴量取尺寸10作平行于X₁O₁Z₁面的平面，并由上往下切；沿Z轴量取尺寸16作X₁O₁Y₁面的平行面，并由前往后切，两平面相交切去一四棱柱，如图11－6（d）所示。

⑤擦去多余的图线，并加深图线，即得组合立体的正等轴测图，如图11－6（e）所示。

3）叠加法

当组合形体由几部分叠加而成时，可按叠加的顺序将各组成部分逐个画出，从而完成形体的轴测图，这种作图方法称为叠加法。叠加法适用于绘制以叠加方式构成的组合体的轴测图。

【例11－4】　如图11－7（a）所示，试根据组合形体的正投影图画出其正等测图。

解　（1）分析：通过对图11－7（a）所示的组合体形体进行形体分析，可知该组合形体是由三个四棱柱与一个四棱台叠加而成。画图时可由下而上（或者由上而下），也可以取两基本形体的结合面作为坐标面，然后按照叠加的顺序逐个画出每一个基本形体。

（2）作图步骤：具体作图如图10－7（a）、（b）、（c）、（d）、（e）、（f）所示。

①在多面正投影图上选择、确定坐标系，坐标原点选在组合形体底面的中心，如图11－7（a）所示。

②画出轴测轴，根据x₁、y₁、z₁作出底部四棱柱的轴测图，如图11－7（b）所示。

③将坐标原点移至底部四棱柱上表面的中心位置，根据x₂、y₂作出中间四棱柱底面的四个顶点，并根据z₂向上作出中间四棱柱的轴测图，如图11－7（c）所示。

④将坐标原点移至中部四棱柱上表面的中心位置，根据x₃、y₃作出中间四棱台上底面的四个顶点在下底面上的投影，并根据z₃向上作出四棱台上底面的四个顶点，连接上、下底面对应顶点，可作出中间四棱台的轴测图，如图11－7（d）所示。

⑤将坐标原点再移至中间四棱台上表面的中心位置，以四棱台的上底面为该四棱柱的下底面，并根据z₄向上作出上部四棱柱的轴测图，如图11－7（e）所示。

⑥擦去多余的作图线，加深可见图线即完成该组合体形体的正等测图，如图11－7（f）所示。

图11－7　用叠加法作组合形体的正等测图

4）装箱法

对于某些由基本形体构成的组合形体，好似放在一个长方体的箱子里，作轴测图时可先画出长方体，再按各基本形体在箱子中的相对位置逐个画出，这种作图方法称为装箱法。装箱法的应用见例题11－5。

5）端面法

当形体的某一表面反映该形体的主要形状特征时，通常先画出该端面（或特征面）的轴测投影，然后“由面到体”——从端面（或特征面）的相应角点作轴测轴的平行线，根据轴向伸缩系数量取尺寸后连接，从而完成形体轴测图的方法称为端面法，又称特征面法。端面法适用于画柱状类物体，其应用见例题11－7。

以上几种方法都需要定坐标原点，然后按各线、面端点的坐标在轴测坐标系中确定其位置，故坐标法是画图的最基本方法。当绘制复杂物体的轴测图时，上述三种方法往往综合使用。

11.2.2　正二测投影

当正轴测投影图的三个轴向伸缩系数有两个相等，且为第三个两倍（即p＝r＝2q或p＝q＝2r或q＝r＝2p）时，所得的轴测投影称为正二等轴测投影图，简称正二测图。实际应用时，常使OY轴的轴向伸缩系数为其余的1/2，即常采用p＝r＝2q。根据形成轴测图的必要条件p²＋q²＋r²＝2，可解得p＝r＝0.94，q＝0.47。当轴向伸缩系数确定后，空间形体相对于轴测投影面的倾斜位置也唯一确定了，轴间角∠X₁O₁Z₁＝97°10′，∠Y₁O₁Z₁＝∠X₁O₁Y₁＝131°25′，即O₁X₁轴与水平线的夹角为7°10′，O₁Y₁轴与水平线的夹角为41°25′，如图11－8（a）所示。

图11－8　正二测图

同正等测图一样，正二测图也采用简化的轴向伸缩系数作图，即取p＝r＝1、q＝0.5。采用简化的轴向伸缩系数的正二测图比原始的正二测图放大了1/0.94＝0.5/0.47≈1.06倍。由于正二测的轴间角非特殊角，绘图时需用量角器绘出，而tan7°10′≈1/8、tan41°25′≈7/8，故正二测的轴测轴可采用如图11－8（b）的方法绘制。正二轴测图的画图方法与正等轴测图完全相同，只是轴间角、轴向伸缩系数不同。

【例11－5】　如图11－9（a）所示，已知台阶的正投影，求作其正二等测图。

解　（1）分析：从图11－9（a）可知，台阶由左右两块挡板和中间三级踏步构成，挡板与踏步这些基本形体，好似放在一个长方体的箱子里，因而可采用装箱法绘图，作轴测图时先画好长方体，再按各基本形体在箱子中的相对位置逐个画出。

（2）作图步骤：具体作图如图10－9（b）、（c）、（d）、（e）、（f）、（g）所示。

①在多面正投影图上选择、确定坐标系，坐标原点选在台阶右侧挡板的下、后、右角点。画图时要注意正二测图的整个作图过程中，所有平行O₁Y₁轴的线段长度，均变为实长的0.5倍，即乘以简化的轴向伸缩系数0.5，如图11－9（b）所示。

②画长方体箱子。按照组合形体的总长、总宽、总高画出长方体的正二测图，如图11－9（c）所示。

③画两侧挡板。在箱子的左右端面根据挡板的长、宽、高画出左右挡板的两个长方体，然后在其上前方各切割一个四棱柱，得左右挡板的正二测图，如图11－9（d）所示。切割时斜面上斜边的轴测投影方向和伸缩系数均未知，故要先定出斜边的端点再连接。

④画踏步。三级踏步为三个长方体叠加而成，画图时先在右挡板的左侧面上按踏步的侧面投影形状画出踏步端面的正二测图，如图11－9（e）所示；然后过踏步端面的可见顶点引O₁X₁轴的平行线，得踏步的正二测图，如图11－9（f）所示。

⑤擦去多余的图线，加深可见图线即完成该组合体的正二测图，如图11－9（g）所示。

图11－9　用装箱法作台阶的正二测图

11.2.3　圆及曲面立体的正等测投影

1.平行坐标面的圆或圆角的正等测投影

1）圆的正等测投影

在正等测轴测投影图中，平行于空间坐标平面的圆是与轴测投影面倾斜的，因而其轴测投影为椭圆。为了简化作图，轴测投影中的椭圆常采用近似画法，用四段圆弧代替四段椭圆弧拟合成近似椭圆。这四段圆弧的圆心是用椭圆的外切菱形求得的，因此也称这个方法为“四心近似法”或“菱形四心法”。下面以水平面内的圆的正等测图为例说明这种画法的应用，如图11－10所示。

①在圆的水平投影图中作圆的外切正方形abcd，切点为1、2、3、4，并选定坐标轴和原点，如图11－10（a）所示。

②画出轴测轴O₁X₁、O₁Y₁轴，并作圆的外切正方形的正等测图——菱形A₁B₁C₁D₁，如图11－10（b）所示。

③连接O₂Ⅰ₁、O₃Ⅱ₁及O₂Ⅳ₁、O₃Ⅲ₁，它们分别垂直于菱形的相应边，并交菱形的长对角线于O₄、O₅，其中O₂、O₃为菱形短对角线的端点，如图11－10（c）所示。

④分别以O₂、O₃为圆心，O₂Ⅰ₁、O₃Ⅲ₁为半径画圆弧Ⅰ₁Ⅳ₁、Ⅲ₁Ⅱ₁，如图11－10（d）所示。

⑤再分别以O₄、O₅为圆心，O₄Ⅱ₁、O₅Ⅳ₁为半径画圆弧Ⅱ₁Ⅰ₁、Ⅳ₁Ⅲ₁，完成作图，如图11－10（c）所示。此时，四段光滑圆弧连接所得近似椭圆即为所求。

图11－10　四心近似法作正等测椭圆

由于正等测图的各个坐标面对轴测投影面的倾斜角度相等，因而位于或平行各坐标面上的相同直径的圆的正等测图为形状和大小完全相同的椭圆，只是椭圆的长、短轴方向不相同。通常把在坐标面XOY上或平行于坐标面XOY的圆叫做水平圆，把在坐标面XOZ上或平行于坐标面XOZ的圆叫做正平圆，把在坐标面YOZ上或平行于坐标面YOZ的圆叫做侧平圆。各坐标面上的相同直径的圆的正等测椭圆的画法如图11－11所示。

从图11－11中可以看出，各椭圆的长轴与垂直于该坐标面的轴测轴垂直，即与其所在的菱形的长对角线重合，而短轴与垂直于该坐标面的轴测轴平行，即与其所在的菱形的短对角线重合。

图11－11　坐标面上圆的正等测画法——四心近似法

在正等测图中，若采用实际的轴向伸缩系数，三个椭圆的长、短轴长度分别为D、0.58D，如图11－12（a）所示；若采用简化的轴向伸缩系数，三个椭圆的长、短轴长度分别是1.22D、0.7D，其中D是平行于坐标面的空间圆的直径，如图11－12（b）所示。

图11－12　平行坐标面的圆的正等测图

2）圆角的正等测投影

构件上常会遇到由四分之一圆弧构成的圆角，如图11－13（a）所示。这些圆角的轴测图分别对应于椭圆的四段圆弧，画圆角时不用作出整个椭圆，只须直接画出该段圆弧即可，如图11－13（e）所示。下面以水平面内圆角的正等测图为例说明其绘图步骤，如图11－13所示。

作图过程如下：

①首先应画出平面图形的正等轴测图，如图11－13（c）所示；

②然后用已知圆弧半径R，在相应边上定出切点，如图11－13（c）所示；

③过切点分别作切点所在边的垂线，此垂线两两相交的交点即为圆弧的圆心，如图11－13（d）所示；

④再分别以O₂、O₃、O₄、O₅为圆心，以相应的长度为半径，在各切点间作圆弧即可，如图11－13（e）所示。

为了图面清晰，如果轴测投影轴O₁X₁、O₁Y₁、O₁Z₁轴的方向已十分明确，图中可不画出，如图11－13（b）～（e）所示。

图11－13　带圆角矩形的正等测画法

2.曲面立体的正等测投影

1）圆柱的正等测投影

图11－14所示为轴线铅垂的圆柱体的正等测画法，其绘图步骤如下：

①首先作出下底面的正等测投影椭圆，如图11－14（b）所示；

②接着根据圆柱的高度平移各段圆弧的圆心，作出上底面的正等测投影椭圆，如图11－14（c）所示；

③再作两椭圆的最左、最右切线，其切点为椭圆长轴的端点，即为圆柱的正等测投影，如图11－14（d）所示。

图11－14　铅垂放置圆柱的正等测画法

当圆柱轴线为正垂及侧垂时，其正等测画法如图11－15（a）、（b）所示。

图11－15　正垂及侧垂放置圆柱的正等测画法

2）圆锥及圆锥台的正等测投影

如图11－16所示为圆锥的正等测画法，其绘图步骤如下：

①首先作出下底面的正等测椭圆，如图11－16（b）所示；

②接着过椭圆的中心向上取圆锥高度，得圆锥顶S₁，如图11－16（c）所示；

③再过锥顶S₁作椭圆切线即可，如图11－16（d）所示。

图11－16　圆锥的正等测画法

图11－17所示为圆锥台的正等测画法，其绘图步骤如下：

图11－17　圆锥台的正等测画法

①首先作出下底面的正等测投影椭圆，如图11－17（b）所示；

②接着根据圆锥台的高度平移轴测投影原点，作出上底面的正等测投影椭圆，如图11－17（c）所示；

③再作两椭圆的最左、最右切线，即为圆锥台的正等测投影，如图11－17（d）所示。

3）圆球体的正等测投影

圆球体从任何一个方向观看都是圆，且圆的直径等于圆球体的直径D。图11－18所示为圆球体的正等测画法，其绘图步骤如下：

①首先过球心O₁分别作出平行于三个坐标平面（H、V、W面）的赤道圆的正等测投影椭圆，如图11－18（b）、（c）、（d）、（e）所示；

②接着作出上述三个椭圆的外包络线圆，该圆即为圆球体的正等测轮廓线圆，当采用简化的轴向伸缩系数绘图时，其直径为1.22D，如图11－18（f）所示；

③然后将三个椭圆可见的前半部分、上半部分、左半部分绘制成实线，而将不可见的后半部分、下半部分、右半部分绘制成虚线，如图11－18（g）所示。

图11－18　圆球体的正等测画法

4）带圆角长方体的正等测投影

图11－19所示为带圆角长方体的正等测画法，其绘图步骤如下：

①首先作出长方体及上底面圆角切点的正等测图，如图11－19（b）、（c）所示；

②接着过切点分别作切点所在边的垂线，此垂线两两相交的交点即为圆弧的圆心O₂、O₃、O₄、O₅，如图11－19（d）所示；

③然后分别以O₂、O₃、O₄、O₅为圆心，以相应的长度为半径，在各切点间作圆弧，即为上底面的四段椭圆弧，如图11－19（e）所示；

④再将圆心O₂、O₃、O₄往下平移长方体的高度H，作出下底面的三段圆弧（另一段圆弧不可见，不用画出），如图11－19（f）所示；

⑤最后再作出上、下底面圆弧的切线，将作图过程线去掉，完成全图，如图11－19（g）所示。

图11－19　带圆角长方体的正等测画法

11.2.4　带曲面组合立体的正等测投影

前述平面立体及曲面立体的正等测投影的绘制方法是绘制组合立体正等测投影的基础，在绘制组合立体轴测图时还应注意如下几点。

（1）坐标轴的设立：组合形体若有对称面通常要在其上设立坐标系，若有回转体，应选坐标轴平行于回转体的轴线。

（2）先完整画出，再挖切：若组合形体是经过挖切而形成的，应首先画出其挖切前完整形状的轴测投影，然后再画挖切后所形成的孔、洞、槽的轴测投影。

（3）组合形体上回转体端面圆的画法：应首先画出回转体的轴线和各端面圆圆心的轴测投影，然后画出各端面圆的轴测投影。

（4）圆柱体轴测投影转向轮廓线的画法：若圆柱体素线（或轴线）平行于某坐标轴时，圆柱体的轴测投影转向轮廓线也平行于相应的轴测轴，且圆柱体的轴测转向轮廓线与其端面圆的轴测投影相切，由此可画出圆柱体的轴测投影转向轮廓线。

【例11－6】　如图11－20（a）所示，已知组合形体的三面正投影，求作其正等测图。

解　（1）分析：从图11－20（a）可知，该组合形体是由底板（长方体左前、右前部被对称切割出两个圆角，并被挖切了对称的两个圆柱通孔）、竖板（长方体顶部被切割成半圆柱，其上部被挖切了一个圆柱通孔）和肋板（底面为梯形的四棱柱）叠加而成。因此，绘图时采用叠加法和切割法绘图。具体绘图时，应先画出组合形体的组成单元——基本形体，再逐一画出圆角、圆孔等细部。

（2）作图步骤：具体作图如图10－20（a）、（b）、（c）、（d）、（e）、（f）所示。

①在多面正投影图上选择、确定坐标系，坐标原点选在形体的对称面上且位于底板的上、后棱线的中点，如图11－20（a）所示。

②画出轴测轴，并依次画出底板、竖板、肋板等基本形体的正等测，如图11－20（b）、（c）所示。

③分别在底板和竖板上切割出圆角和半圆柱的正等测，如图11－20（d）所示。

④依次画出底板和竖板上的圆柱形通孔的正等测，绘图时应注意这些圆柱通孔在轴测图中能否反映是通孔，如果反映还应画出圆柱通孔后表面的可见部分，如图11－20（e）所示。

图11－20　组合形体的正等测画法

⑤擦去多余的作图线，加深可见图线即完成该组合形体的正等测图，如图11－20（f）所示。