3.4 两点的相对位置和无轴投影图
3.4.1 两点的相对位置
两点的相对位置，是指两点垂直于投影面方向也即平行于投影轴OX、OY、OZ的左右、前后和上下的相对关系。在投影图上，可由两点在三个坐标方向上的坐标差来表示。设在OX、OY、OZ三个方向上，坐标值大的一方分别为左方、前方、上方，则研究空间两点的相对位置，即是判别出它们之间的左右、前后、上下的相对位置关系。
对于图3－10（a）、（b）中的两点，对相对位置判断如下：
①由H、V面投影可看出，xA＞xB，所以点A在点B的左方；
②由H、W面投影可看出，yA＞yB，所以点A在点B的前方；
③由V、W面投影可看出，zA＞zB，所以点A在点B的上方；
则由三投影中的任两投影即可综合得出点A在点B的左、前、上方。
图3－10 已知两点的投影判断其相对位置
两点的相对位置只与其中的基准点有关，而与投影面或投影轴的位置无关，如图3－10（c）中的投影图，虽然没有绘出投影轴，但同样可以根据坐标差值判断点A在点B的右、后、上方。同时，若在投影图上给出A、B两点中任一点的投影，则根据它们的相对坐标就能作出另一点的投影。
3.4.2 重影点的可见性
当空间两点位于垂直于某投影面的同一条投射线上时，这两点在该投影面上的投影重叠在一起，称这两点为对该投影面的一对重影点。这种情况下该空间两点的直角坐标值中有两个相等而第三个不相等。
如图3－11所示，A、B两点是对H面的一对重影点，则z坐标值大的A点在上方。
C、D两点是对V面的一对重影点，则y坐标值大的点C在前方。
E、F两点是对W面的一对重影点，则x坐标值大的点E在左方。
如图3－11所示的投影图中，若把投射方向作为观察方向，则投影重叠的两点（即重影点）就存在了谁挡住谁、谁可见谁不可见的问题。显而易见，把投射方向作为观察方向，坐标值大的点的投影可见，坐标值小的点的投影不可见。在投影图中规定用括号把不可见的投影括起来，以示区别，如图3－11中的a（b）、c′（d′）、e″（f″）。
图3－11 重影点的投影
由此可见，对某投影面的一对重影点的三对坐标值中，必定有两对相等；从投射方向观看，重影点必定有一个点的投影被另一点的投影遮挡住而不可见；判断重影点的可见性时，需要看重影点在另一个投影面上的投影，坐标值大的点投影可见，反之不可见，不可见的点的投影加括号表示。
3.4.3 无轴投影图
前述的投影是建立在一个有形的三面投影体系或两面投影体系的基础之上，所画的投影图均包含了投影轴，这种图称为有轴投影图。
如果只研究空间两点之间的相对位置或距离，而不涉及各点到投影面的距离时，则可以不将投影轴表示出来，这种图称为无轴投影图。
在无轴投影图中，投影轴虽省略不画，但各投影面依然存在；投影轴的位置虽不确定，但水平或铅垂方向保持不变，且投影连线必垂直于相应的投影轴。也就是说，三面投影的相互排列位置与方向，仍旧像有投影轴时一样，即它们之间的投影连线方向没有改变。因此，无轴投影图仍应符合点的投影规律。
如图3－12所示，aa′仍为铅垂方向，a′a″仍为水平方向；此外，过点a的水平线与过a″的铅垂线，应交于45°斜线上的点a0（a0一般不必注出）。在无轴投影图中，当点A的H面投影a、W面投影a″已知时，则45°斜线的位置必随之确定，它必定通过由a所作水平线和由a″所作铅垂线的交点a0。而且，在一个三投影面体系中，有且只有一条45°斜线。
图3－12 无轴投影图
如果无轴投影图中，已知一点的V面投影，并知H面或W面投影中的一个时，则45°斜线的位置不能唯一确定。
【例3－4】 在如图3－13（a）所示的无轴投影体系中，已知点M的两个投影m、m″，点N的两个投影n、n′，求作两点的第三投影m′和n″。
解 （1）分析：点M的H面投影m、W面投影m″已知，则45°斜线的位置必随之确定，它必定过由m所作水平线和由m″所作铅垂线的交点。由此可确定两点的其余投影。
（2）作图步骤：具体作图如图3－13（b）所示。
①过m向上作铅垂线，过m″向左作水平线，其交点即为m′。
②在无轴投影图中，由n、n′求n″，必须先画出45°斜线。由于M、N两点处于同一个三投影面体系中，所以只能有一条45°斜线。故过m向右作水平线，过m″向下作铅垂线，得交点m0；过m0作与水平方向成45°的斜线。
③过n向右作水平线与45°斜线交于n0，在过n0向上作铅垂线；最后过n′向右作水平线与过n0的铅垂线相交的交点即为n″。
图3－13 已知点的两面投影求作第三面投影
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