怎么判断三面投影的空间位置

时间：2022-02-13 理论教育版权反馈

【摘要】：每两个投影面的交线分别称为投影轴OX、OY和OZ。三条投影轴垂直相交的O点称为原点。再将表示投影面范围的边框去掉，便可得点A的三面无边框投影图，如图3－4所示。由于点的每个投影均由两个坐标值确定，因此可作出点的投影。

3.3　点的三面投影

3.3.1　三投影面体系

三投影面体系是在两投影面体系中增加一个与H面和V面都相互垂直的侧立投影面W面，如图3－3所示。每两个投影面的交线分别称为投影轴OX、OY和OZ。三条投影轴垂直相交的O点称为原点。

图3－3　三面投影体系

因为投影面是无限大的，故两两相互垂直的V、H、W面把空间划分成八个部分，每一个部分称为一个分角。规定：H面之上、V面之前、W面之左的部分为第Ⅰ分角，其他各分角如图3－3所示（第Ⅶ分角在第Ⅵ分角的下面）。

我国的制图国家标准规定工程形体图样采用第Ⅰ分角画法，即将形体放在第Ⅰ分角中进行投影。因此，本书主要研究空间几何元素在第Ⅰ分角中的投影，以后凡不作特别说明的投影图都是第Ⅰ分角中的投影图。

3.3.2　点的三面投影

如图3－4（a）所示，三投影面体系中的第Ⅰ分角内有一空间点A，过点A分别作投射线垂直于H面、V面和W面，分别得点A的水平投影a、正面投影a′和侧面投影a″（规定W面投影用对应的小写字母加两撇表示）。

将三个投影面展开成为一个平面时，规定V面保持不动，H面绕OX轴向下旋转90°，W面绕OZ轴向右旋转90°，使得H面、W面与V面处于同一平面上，便可得点A的三面投影图，如图3－4（b）所示。由于投影图上投影轴OY在两处出现，为便于区分，随H面旋转后的OY轴标记为OY_H，随W面旋转后的OY轴标记为OY_W。再将表示投影面范围的边框去掉，便可得点A的三面无边框投影图，如图3－4（c）所示。

3.3.3　点的三面投影规律

从图3－4（c）所示三面投影图可知，点的三面投影规律如下。

图3－4　点的三面投影

（1）一点的正面投影和水平投影的连线垂直于OX轴（即aa′⊥OX）。

（2）一点的正面投影和侧面投影的连线垂直于OZ轴（即a′a″⊥OZ）。

（3）一点的水平投影到OX轴的距离等于该点的侧面投影到OZ轴的距离（即aa_x＝Aa′＝a″a_z＝a_yO）。

以上三条规律就是“长对正，高平齐，宽相等”三等关系的理论依据。如图3－5所示，因为形体最左一点A和最右一点B的H面投影与V面投影，分别在同一竖直投影连线上，因而必然会出现“长对正”的关系；同样，形体最高一点A和最低一点C的V面投影与W面投影，分别在同一水平连线上，因而必然会出现“高平齐”的关系；形体最前一点A和最后一点D距离V面的距离差，在其H和W面投影中均能反映，因而必然会出现“宽相等”的关系。

图3－5　三面投影的关系

3.3.4　点的三面投影和直角坐标的关系

若把三面投影体系中的三投影轴OX、OY、OZ（简称X、Y、Z轴）当作空间直角坐标体系OXYZ的三个坐标轴，把三面投影体系中的原点O当作坐标系的原点O，把三投影面H、V、W分别当作空间直角坐标面OXY、OXZ、OYZ，则点的空间位置可用其直角坐标值来确定，即点到三个投影面间的距离分别为该点的三个直角坐标值，如图3－6所示。

图3－6　点的投影与坐标的关系

从图3－6中可见，点的投影与其坐标的关系如下。

（1）Aa″＝a_xO＝aa_yH＝a′a_z＝x，反映点A到W面的距离。

（2）Aa′＝a_yHO＝a_yWO＝aa_x＝a″a_z＝y，反映点A到V面的距离。

（3）Aa＝a_zO＝a′a_x＝a″a_yW＝z，反映点A到H面的距离。

由图还可以看出，空间点A的位置由它的直角坐标A（x、y、z）确定，它的三个投影的坐标分别为a（x、y）、a′（x、z）、a″（y、z），即其水平投影a反映了x、y坐标值，正面投影a′反映了x、z坐标值，侧面投影a″反映了y、z坐标值。因此，只知道空间点的一个投影无法确定其在空间的位置，因为点的一个投影只能确定该点的两个坐标值；要确定空间点的位置，必须知道点的两个投影。

【例3－1】　如图3－7（a）所示，已知点K的正面和侧面投影，求作其水平投影k。

解　（1）分析：根据点的三面投影规律，所求点K的水平投影k与正面投影k′的连线垂直于OX轴，且k到OX轴的距离等于k″到OZ轴的距离。

（2）作图步骤：具体作图如图3－7（b）、（c）所示。

①由k′作OX轴的垂线k′k_x，所求的k必在这根铅垂投影连线上，如图3－7（b）所示。

②由k″作OY_W轴的垂线，并利用过原点O的45°辅助线，在k′k_x的延长线上向下截取k_xk＝Ok_yW，k即为所求点K的水平投影，如图3－7（c）所示。