混沌式流行病

混沌式流行病

流行病是传染性疾病，在世界各地经常发生，种类繁多，防不胜防，一种消灭了或控制住了，另一种又产生了，对人类健康和生命危害极大。因而，研究其流行规律以便能预报和防治，是非常重要的。

传统的流行病学研究，把流行病看成一个由多种因素决定的随机现象。但在建立数学模型进行定量描述时，由于不可能把所有因素全部考虑进来，致使描述不真切而结论与实际不符。

混沌理论为流行病的研究开辟了一条新思路。混沌方法的出发点与目前盛行的多因素方法截然不同，认为流行病可以由少数原因引起，但是个非线性过程，对初始条件具有敏感依赖性，因而表现出貌似的随机特性，其实它的决定性系统是简单的。加拿大学者菲利普(P．Philippe)曾用一个简单例子，形象生动地说明了流行病传播过程的混沌本质。加拿大某地4个互不相识的青年先后被确诊为脑炎，经调查发现，他们都去过同一酒吧。传统观点认为那是随机发生;而混沌观点认为，那是由于人群接触率高到超过细菌传播的阈值，引起疾病系统动力学过程发生了变化，是确定性混沌的表现。

据国外一些研究者对各种流行病数据的分析和研究，表明绝大多数流行病的暴发是混沌的。它们的暴发有不可预测性，但也有些大致趋势性表现:一般在高传染年份之后发病率往往将有一个较大的下降，在中等传染年份之后发病率变化较小，而低传染年份之后则不可预测性最大。传染病在局部地区暴发，也不一定全是预防措施的失误，有的就是这种传染病本身混沌性所决定的。所以，传染病发作的起伏变化，往往是一种混沌性振荡，并非随机现象或周期性流行。当然研究也表明，确有周期性发作的，如水痘、疟疾和腮腺炎;也确有随机发作的，如肝炎。那么，如何判断流行病是否混沌的呢?

判断一种流行病是按什么模式暴发的，最重要的是先做详细的疫情记录和统计，这是分析的基础。医疗防疫部门一般拥有大量典型疫情资料。然后是建立适当的数学模型进行描述。不同流行病的感染后果是不同:(1)有的感染后往往终生维持，如乙型肝炎导致的澳抗阳性;有的感染治愈后获得终身免疫，如小儿麻疹。这样对人群作简单划分为未感染和已感染两类，就可以建立感染率的简单数学模型。(2)有的传染病可以治愈但可以再次感染，如血吸虫病和砂眼，人群可分为从未感染、现在感染和曾经感染三类，又可以建立感染率的简单模型，但比第一种稍繁杂些。(3)有的传染病其感染率与已有患者数和未感染者人数均有关，如鼠疫、霍乱、麻风病等，其模型更为复杂。目前更贴近实际的所谓SEIR模型，把人群分为4类:未经免疫的未感染者S(t);已感染尚不传染者(细菌或病毒携带者)E(t);患者I(t);康复者R(t)。它们的总和等于总人口，它们的变化率除了互相影响外，还与疾病潜伏期、有效接触率(感染力)、恢复力(平均传染期的倒数)和出生率、死亡率有关，由4个方程的方程组描述。其中感染力的部分是以年为周期而周期性变化的:

恢复力和潜伏期来源于医学文献，出生率和死亡率可近似认为相等，由当地人口普查资料得到。将这些代入SEIR模型的非线性方程组中，发现随着感染力周期性变化部分振幅α₁，的逐渐变大，相继出现2、4、8、16等周期解，这是明显的倍周期分岔。当进一步增大振幅α₁到0．28时，出现了混沌解，转化为飘忽不定的涨落。其表现令人们回想起1945年纽约市发生的一次特别严重的麻疹大暴发，那次在一个月内就有2．5万人发病。图7－9为美国纽约麻疹发病率的统计。

图7－9　美国纽约麻疹发病率的统计

为了进一步判定它是否混沌的，美国学者谢弗(W．Schaffer)和科特(M．Kot)于1984—1985年对统计资料作了仔细的分析，重构了相空间轨线图和庞加莱截面，如图7－10。其中a～e是从不同方向透视的轨线图，可以看出大体是锥形的吸引子，锥形的顶点在原点。e的左上角小图为庞加莱截面，由V字型的两支组成，f是V字型中一支的放大。从吸引子来看较复杂，由图直接计算出分维是2．55。用SEIR模型计算其分维数，结果是2．52;进一步算其李雅普诺夫指数也是正的，在a₁=0．28时，指数σ=0．48。从这几方面分析的结果看，都可判断出麻疹发病确实具有混沌性质。

对其他流行病，诸如风疹、猩红热等大多数流行病也都曾做过类似的分析，结论与麻疹一样，其暴发模式是混沌的。

图7－10　美国纽约麻疹资料相空间分析

但是，也有少数传染病的发病率具有不同的性质。如图7－11是纽约水痘发病率的记录和相图分析。其中a是发病记录，初步看出它是周期性变化的，但每个周期的幅度不相等。对它作相空间重构处理，得到c～g的相轨线，b的功率谱和h的庞加莱截面。其样式与图7－10麻疹的情况明显不同。用SEIR模型计算出其李雅普诺夫指数得σ=0;计算其维数，得1．00是整数。综合这些性质可以得出结论，水痘是周期性模式暴发的。

对腮腺炎做类似的统计分析，证明也是周期性暴发的。也有既非周期性发作又非混沌式发作的传染病，对肝炎作统计分析的结果就证明，它是完全随机性发作的，完全没有规律性地涨落。

图7－11　纽约水痘发病记录与相图分析

总之，流行病学研究再次证明，混沌不是简单的无序，而是一种貌似无序的有序，是一种非周期的有序。传统上生命科学的研究中，人们只知有序，把许多起伏变化或振荡过程简单地看成是周期的，这是误解。混沌理论的兴起，才改变了人们的观念，从而完善了人们认识世界和认识自身的观点和方法。