三角关系有混沌

三角关系有混沌

二体作用性态良好，三角关系多灾多难。

庞加莱把他的截面方法应用于希尔简化模型，讨论一个理想的三体问题，可能是两个行星和一个卫星，甚至两个行星和一粒星际尘埃(星际尘埃是极微小的天体)。它们都在同一平面内运动，卫星(或者尘埃)的轨道是该平面上的曲线。庞加莱截面与轨道平面垂直，曲线和截面的交点完全决定轨道曲线的性质。通常只考虑曲线单向穿过截面所产生的交点。通过研究截面上交点的序列，可以研究整个轨道曲线的性质。庞加莱发现除简单的周期轨道(圆或椭圆，只有一个交点)、较复杂的周期轨道(回到第一个交点前要穿过截面好几个点，重复循环)之外，还有非周期轨道。他是通过轨道曲线与截面的交点不是周期性序列看出来的，无数个交点不规则分布或排列，从其中一点出发的轨道曲线，当它返回截面时交于另一点，穿过后转一周又一交点，如此等等从不重复。这样推断出轨道一定是些极其复杂的不规则曲线。庞加莱说:“这一图形的复杂性令人震惊，我甚至不想画出来。没有什么能给我们一个三体问题复杂性的更好的概念。”^[6]

图4－4　三体运动的复杂性

(一个尘粒绕二等质量行星运转的轨道)

图4－5　卫星绕二行星运动起点不同的两条可能轨道

其实，庞加莱通过观测、分析截面上的交点，而推断出卫星轨道的复杂现象，就是混沌。要求他在那个时代画出这么复杂的轨道曲线是过分的。但是，在当今的计算机时代，这却成为一件极其简单的事儿。比如图4－4就是一个尘埃绕两颗质量相等的固定行星作轨道运行的情况。而图4－5是卫星绕两个不等质量行星运转的可能轨道，更清楚地显示出轨道对初始条件的敏感性。图中左边行星的质量是右边行星的4倍，描述卫星运动的坐标系固定在行星上(即x轴在二行星连线上，y轴垂直连线)。若卫星分别从两个非常靠近的位置点以相同速度开始运行，则有两条可能的轨道，开始阶段它们绕小行星旋转数圈，两条轨道保持相近。然后又绕大行星旋转而且两轨道也分开了，到达箭头所示的位置时，已经各奔东西。继续计算表明这两条卫星轨道在两个行星之间还会来回穿梭。这种状态显然是混沌。

由此可见，简化了的三体就会出现这么复杂的“轨道不规”的混沌现象，更何况真实的多体的整个太阳系呢。