费根鲍姆闯新路

费根鲍姆闯新路

普适常数的发现，不仅证明了混沌规律的普遍性，而且把混沌研究从定性描述推进到定量描述，使混沌理论发展到一个新的阶段，有资格跻身于现代科学之林，成为一个前景看好的热门分支。这一成就主要归功于费根鲍姆。其实倍周期分岔过程中的几何收敛性，梅曾经见到过并意识到了，但遗憾的是他未继续深入研究，致使与这一殊荣失之交臂。

费根鲍姆出身于纽约一个知识分子家庭，从小对宇宙之谜颇感兴趣，中学阶段就喜好物理。1964年进入麻省理工学院，20世纪70年代得到基本粒子方面物理学博士学位。这位物理学家兴趣广泛，颇有才气，知识背景又好，对粒子物理、量子场论、临界态理论及相关的数学工具都有很好的了解。他不再乎科研课题是否容易获得回报，却热衷于思考一些当时物理学家不感兴趣的问题，他毫无功利之心。他毕业后先后在两所大学工作，平平庸庸地度过了4年。1974年29岁时来到洛斯·阿拉莫斯国家实验室，在理论部工作，研究湍流之类的非线性问题。他意识到非线性问题的复杂性，感到现有科学知识的无能为力。他浏览了许多非线性方面的书，也找不到多少有用的东西。于是决定找个简单的非线性方程自己从头搞起。于是找到了逻辑斯蒂方程，他认为这里没有复杂的演算，只是一次次重复迭代的数值计算，方法简单。他做了数值试验，看到问题有些复杂。他那时知道洛斯·阿拉莫斯有3位数学家1971年研究过这种问题，便去请教。进行交流时人家告诉他，这样迭代下去，前景复杂得惊人。于是，他被吓住了，将此方程束之高阁。

1975年夏，他参加了一个科学报告会，会上斯梅尔^[3]介绍了逻辑斯蒂映射及通过倍周期分岔走向混沌的问题，并指出有现实数学意义的现象，可能发生在倍周期停止而混沌开始的微妙转折点上，那里大有文章可做。这大大鼓舞了费根鲍姆，他决定重新开展被搁置的研究，并从精确计算产生分裂的参数值入手。他没有用快速计算机，而是用自己的HP－65计算器，因为速度慢可以边算边记边思考。

然而，这些分支点上的参数值的几何收敛特性被他发现了，他计算出收敛速率是4．669，这是他手中计算器所能达到的最高精度。用这个速率去猜测往后的分支点参数值极为准确，于是计算速度大大加快，可以省去原来盲目的试探步骤了。

费根鲍姆熟悉数学上的重整化群方法，他深知几何收敛意味着方程有标度变换，恒定的收敛速度意味着标度律的成立，进而意味着杂乱无章的混沌在万变中竟有不变。他的思潮汹涌，联想翩翩，在茫茫混沌中，看到了大自然的新秩序。他又拿起他的HP－65计算器，对别人曾经考察过的其他非线性方程进行计算，特别是正弦映射x_n+1=μsin(πx_n)，发现也是分支点几何收敛，而且收敛率竟然也是4．669。他将结果告诉同事，同事们都认为4．669的精确度太低。于是，改用计算机，利用Fortran语言，他第二天就得到4．6692016091，两种映射同一数值，在当时所能计算到的小数点后10位上竟丝毫不差。真是不算不知道，世界真奇妙!

费根鲍姆进入了更紧张的工作，有时每天工作20小时，在计算机上进行各种数学试验，后来又发展了一种以图形为主要输出的工作方式。他运用所熟悉的重整化群的数学技巧，将标度变换的概念引进从有序转变到混沌的描述当中，创立了他的普适性理论，而且将它用于湍流系统，果然又成功了。它将成果写成论文，投向杂志，竟被退稿，两年之后再投，又被退回。这期间他到处演讲、作报告，事实上，他的突破已经成为数理科学界的热门话题。论文预印本和复印件照样传播。反应多是惊奇、激动和不信，主要是由于费根鲍姆当时并没有给出严格的数学证明(后来别人做出了)。尤其令他难以忘怀的是1976年9月在洛斯·阿拉莫斯那次国际数学会议上的情景，他在会上刚开始报告不久，马上就有位著名的数学家站起来质问:“先生，你想给数目字还是给证明?”他答:“我要说的，比数目字多些，比证明少些。”会后那位数学家说:“这果然是一个有理性的人的证明，细节可以留给严格的数学家去干。”

费根鲍姆开垦的是数学与物理学之间的一片荒芜的处女地，算什么学问呢?不是传统意义上的严格数学，因为没有证明，但他又毕竟是在研究数学。不是传统意义上的物理学，因为没有加速器之类的仪器，但他又毕竟是在做实验，只不过实验仪器是计算机罢了。真理是封锁不住的，在费根鲍姆普适性理论的推动下，非线性科学终于有了进展，1977年在意大利举行了第一次混沌学术会议，有上百位科学家(主要是物理学家)参加。1978—1979年他的两篇论文终于在《统计物理学杂志》上发表了，轰动了世界。他的理论被物理学界公认了，先后获得麦克阿瑟奖和沃尔夫奖。

费根鲍姆成功了。成功的秘诀在于:他研究细节但又不被细节所淹没，善于抓住不同细节中的共同的、相似的、普遍的、本质的东西;他继承传统又不被传统所束缚，善于以新的思维、新的观点、新的情操去研究事物、观察自然、领略人生。他认识到传统科学中，那条“分析分析再分析，把事物的组成分离出来，直到你真正明白基本的东西在单纯的状态以如何简明的规律行事，……往后你若遇到极复杂的问题，你便把简单的东西以复杂的方式拼凑在一起”的路线，到最后行不通了，“你要像开汽车为了爬坡必须换挡才行”，“人类要另辟新径”^[4]。费根鲍姆就是一个另辟新径的人。