混沌的定量指标

混沌的定量指标

对初始条件的敏感依赖性，是一切混沌系统必然具有的显著特性，为了对此性质进行定量化的描述，可引入一个称作为李雅普诺夫(Lyapunov)指数的量。这是一个能划分是否混沌的重要指标。下面以单个变量的情况为例进行说明，为了讨论具有普遍性，我们将方程写为:

这里f(x_n)表示x_n的任意函数，不限(1．3)式的形式。考虑某个初值点x₀和它的近邻点x₀+ε，其中ε→0是个微小的偏差。经过一次迭代后，两个相邻态之间的偏差可写为

其中，σ就是李雅普诺夫指数。接着迭代下去:

这一系列的偏差，使得体系形成两条由相邻初态出发的不同演化轨道，轨道间距离取决于指数σ。它的值总是实数，可正、可负，也可为零，只要知道f(X_n)的具体函数形式，就可以由下式算出〔(1．5)式或(1．6)式取对数就可得到下式〕:

现在来讨论一下李雅普诺夫指数的意义。由(1．6)式可以看出，迭代次数n很大时，如果σ＜0，由于e^nσ→0，则有δX_n→0，相当于偏差消失，两条相邻轨道最后靠拢合并成为一条。

如果σ=0，由于e^nσ=1，则有δx_n=ε，相当于两条轨道平行演化，始终保持相等距离，既不合并，也不远离。

如果σ＞0，由于e^nσ＞1，则δx_n随着n的增大而越来越大，两条轨道距离越差越远，按指数增长方式相互背离。

前两种情况对初始值的偏差不敏感，属于稳定态或周期性态;后一种情况对初始值偏差敏感，对初始偏差具有放大作用，这正是混沌态的特征。可见，李雅普诺夫指数是否大于0可作为是否混沌态的一个判据。σ值由负变正，表明系统转向混沌态。

图1－3给出了由(1．8)式计算得到的逻辑斯蒂方程的指数σ，它随参数μ变化，在μ＜μ_∞=3．5699时，σ值全是负的，对应稳定的周期行为;在μ＞μ_∞时，大部分σ＞0，对应混沌行为;但也有几个很窄的裂口处的σ＜0，这是混沌区中夹有的周期窗口(3、5、6等周期)。关于混沌区中的周期窗口，我们下一章还会讨论的。

图1－3　李雅普诺夫指数