素数循环节的性质与计算

1．素数循环节的性质与计算

小数包含有限小数和无限小数．如果无限小数的小数点后，从某一位起向右进行到某一位止的一节数字循环出现，首尾衔接，我们称这种小数为循环小数，这一节数字称为循环节，重复数字的个数称为循环节的长度．设p为素数，这里我们只探究p的倒数转化为循环小数的循环节，简称为素数p的倒数的循环节，在不引起歧义的前提下，也可简称为素数p的循环节．

素数7的倒数化为小数是＝0.142857142857142857…，虽然142857、428571、285714、857142、571428、714285都有作为循环节的资格，但一般我们选最先出现的142857作为素数7的循环节，其循环节的长度是6．

循环节142857依次乘以1、2、3、4、5、6得到的数分别为：142857×1＝142857，142857×2＝285714，142857×3＝428571，142857×4＝571428，142857×5＝714285，142857×6＝857142．这些数从小到大依次是71、、、、、的循环节，同时它们也构成等差数列，其首项是142857，公差也是142857，通项公式是a_n＝142857＋（n－1）·142857＝142857n（其中n＝1，2，3，4，5，6）．

这是素数p的循环节依次乘以1、2、3、…、p-1的基本方法．p＝7显然是比较简单方便的．如果p比较大，能不能不用计算而是应用循环节的特性就可以得到相同的结果呢？

如果素数p的循环节长度是m＝p-1（如素数7、17、19），那么可以用下面几种办法，不用计算而求得该循环节依次乘以1、2、3、…、p-1所得的乘积．

我们还是从7入手，从中得到启发而加以推广，这也是数学研究的基本方法．

（1）截取法

从＝0.142857142857142857…小数点后边依次截取6个六位数，再依次从小到大排列，恰是142857、285714、428571、571428、714285、857142．所以，我们只要从小数点后边依次截取p-1个数再从小到大排列，就可以得到素数p的循环节依次乘以1、2、3、…、p-1的结果（只需写出小数点后面两个循环节即可完成）．

（2）圆阵循环法一

将1、4、2、8、5、7按顺时针写成圆阵（如图4-1），逐个作为首位按照顺时针方向写出六位数，就是有序循环，而后从小到大排序．

图4-1

（3）圆阵循环法二

如果在圆阵外圈按大小标明其位次，就是将1、2、3、4、5、6写在上式各数首位的外边，得到的车轮圆阵（如图4-2），然后按位次写出六位数，这样既得到有序循环又有了大小顺序．

从图中不难看出如下几个特点：

第一，图形的内圈六边形对角线数字之和均是9；

第二，对角线上四个数之和都是16；

第三，142857乘以1~6的数，答案是同它相邻的数开始的循环数．如：要求142857×3，与外圈③相邻对应的是内圈的④，答案是由内圈④开始顺时针读出428571，即得142857×3＝428571．

图4-2

（4）有序调位循环法

这里所谓“有序”，好像人们春节排队买火车票那样，各个数字有自己的位置，依次轮换，不得“插队”．

将142857的末位数字“7”调到首位，其他固定，“5”变成了末位，变成714285；然后将“5”调到首位，变成571428；依次反复进行，直到原始的首位数字“1”换到末位，变成428571，经过6次调位完成一个循环，再由小到大排列．

由素数7的循环节得到的等式队列，不同于回文数和纯元数的等式队列，而是循环节数字有序循环（存在倍数关系）的等式队列．因此本文只对的循环节进行探究，将其他的各（循环）数依次编序称之为序号．这种办法可以推广到其他素数的循环节和相应的循环数．可以计算求得这个数列的各项，也可以用上述有序循环法得到，视循环节具体情况（比如长度）而选择．

注：祖冲之得出了两个表达圆周率的分数，一个是称为约率的，一个是称为密率的，其中＝742851.3，142857是素数7的循环节，142857是很有趣的循环数^[1]．关于142857，有许多精彩内涵，许多专著有比较详尽的介绍．

例1：素数17转化为十进位小数：＝0.058823529411764705882352941176470588235294117647…

17的循环节0588235294117647依次乘以1、2、3、4、…、15、16，得到的依次是、、、…、、的循环节，得到等差数列：588235294117647，1176470588235294，1764705882352941，…，8823529411764705，9411764705882352．首项是588235294117647，公差也是588235294117647．通项公式是a_n＝588235294117647n（其中n＝1，2，3，…，15，16）．

循环节0588235294117647的长度为16（我们将“0”保留在首位，便于明确循环节的长度，以后不再说明）．依次乘以1、2、3、…、15、16，因为超过15位数字，难以在Excel工作表上计算，我们用“有序调位法”进行有序循环：复制16个0588235294117647，用鼠标将相关数字进行移动：将首位“0”调到末位，其他固定，“5”变成了首位；然后将“5”调到末位，依次反复进行，直到原始的末位“7”换到首位，16次轮换完成一个有序循环．当然，顺序也可以倒过来．注意，完成一轮调位，必须由小到大进行排列．

（续表）

进行整理，得到17的循环节构建的等式队列：

588235294117647×1＝588235294117647

588235294117647×2＝1176470588235294

588235294117647×3＝1764705882352941

588235294117647×4＝2352941176470588

588235294117647×5＝2941176470588235

588235294117647×6＝3529411764705882

588235294117647×7＝4117647058823529

588235294117647×8＝4705882352941176

588235294117647×9＝5294117647058823

588235294117647×10＝5882352941176470

588235294117647×11＝6470588235294117

588235294117647×12＝7058823529411764

588235294117647×13＝7647058823529411

588235294117647×14＝8235294117647058

588235294117647×15＝8823529411764705

588235294117647×16＝9411764705882352

例2：＝0.052631578947368421052631578947368421…的循环节是052631578947368421，长度为18，进行18次有序调位循环．如下表：

得到19的循环节构建的等式队列，可以突破1到19，延伸发展等式层次：

52631578947368421×1＝52631578947368421

52631578947368421×2＝105263157894736842

52631578947368421×3＝157894736842105263

52631578947368421×4＝210526315789473684

52631578947368421×5＝263157894736842105

52631578947368421×6＝315789473684210526

52631578947368421×7＝368421052631578947

52631578947368421×8＝421052631578947368

52631578947368421×9＝473684210526315789

52631578947368421×10＝526315789473684210

52631578947368421×11＝578947368421052631

52631578947368421×12＝631578947368421052

52631578947368421×13＝684210526315789473

52631578947368421×14＝736842105263157894

52631578947368421×15＝789473684210526315

52631578947368421×16＝842105263157894736

52631578947368421×17＝894736842105263157

52631578947368421×18＝947368421052631578

52631578947368421×19＝999999999999999999

52631578947368421×19×2＝1999999999999999998

52631578947368421×19×3＝2999999999999999997

52631578947368421×19×4＝3999999999999999996

52631578947368421×19×5＝4999999999999999995

52631578947368421×19×6＝5999999999999999994

52631578947368421×19×7＝6999999999999999993

52631578947368421×19×8＝7999999999999999992

52631578947368421×19×9＝8999999999999999991

……

提示：以上的等式队列各等式，读者可以随机抽样进行验算．

我们注意到：142857×7＝999999，588235294117647×17＝9999999999999999，52631578947368421×19＝999999999999999999，这个定理在古代就被数学家欧拉所证明．

定理：一个2、5以外的素数p的倒数转化为十进位小数，设它的循环节是，长度为m，那么

·p＝999…99（m个9）＝110-m．

推论：一个大于5的素数p的倒数转化为十进位小数，如果它的循环节，长度为m，那么被9整除，F（m）被p整除，也就是说，大于5的素数的循环节含有9的因数，F（m）含有因数p．

利用上述定理可以用来很方便地求出素数p转化为小数以后的循环节及其长度．因此，用素数p的循环节建构等式队列，除了乘以从1到p-1的连续自然数，一般还要乘以从p开始的p的倍数的连续自然数．