分析化学中的方法

7.3.1　分析化学中的MLR方法

化学计量学中的多元线性回归（Multiple linear regression，MLR）校正方法不同于回归分析中的多元线性回归，它具有特定的意义：用纯组分灵敏度系数构成的矩阵直接代替式（7－1）中的系数矩阵B，然后求未知样本的浓度矩阵X。

设预测得到的浓度矩阵为，对（7－1）两边右乘矩阵B^T，有

要想保证式（7－2）有唯一解，必须使变量个数p≥m（m为组分个数），否则矩阵BB^T奇异而无法求逆。

由此可见，要根据式（7－2）求出混合物系中每个样本的浓度，必须提供响应值矩阵Y与灵敏度系数矩阵B。由于B阵的每一行代表一个组分在p个波长下的吸收系数构成的一个行矢量。所以只需对每一个组分单独存在时按单变量校正方法以最小二乘法求出在p个波长下的灵敏度系数就可求出B矩阵中该组分对应的行矢量。

式（7－2）成立的前提是比尔定律描述的线性加和关系式（7－1），用纯组分的灵敏度系数代替其在混合物系中的灵敏度系数是一种理想化的处理方式（假设组分间不存在相互干扰和作用），因此，采用MLR法进行多元物系浓度预测适用于如下情形。

（1）混合物系中定性组分已知的白色体系。

（2）体系的响应值与组分浓度间呈线性关系。

（3）各组分的光谱之间线性无关（即光谱曲线形状相差很大，如果不同组分光谱曲线间存在倍数关系或完全重叠，相当于B矩阵中存在相关的行，会造成矩阵BB^T奇异，无法求逆）。

（4）各组分间无相互作用或相互作用很小。

例7－1　对例6－1中的亮氨酸、异亮氨酸构成的显色体系。某分析工作者试图在不采用任何分离手段的情况下，通过测量亮氨酸（组分1）、异亮氨酸（组分2）构成的混合体系的吸光度来确定试样中1、2的含量。

首先配制各纯组分1、2系列浓度，在适当条件下与茚三酮反应，生成有色配合物。在546～590nm每隔4nm测定一次溶液的吸光度。应用单变量校正曲线方法，求得纯组分1、2的吸收系数，见表7－1。然后配制4个亮氨酸、异亮氨酸的混合物样本，采用与步骤1相同的方法显色，且在相同条件下分别测定4个样本的吸光度，吸光度值见表7－2。

表7－1　亮氨酸、异亮氨酸在不同波长下吸收系数

表7－2　4个混合物样品在不同波长下吸光度

将表7－1的吸收系数组成矩阵B

与表7－2中的4个混合物吸光度组成矩阵Y

代入根据MLR给出的式（7－2）可以求得4个混合物样品中组分1（亮氨酸）、2（异亮氨酸）的浓度矩阵X，计算结果见表7－3。由该表可看出样本中组分1、2的预测结果与其实际浓度的差异极大，甚至出现了异亮氨酸浓度全为负的结果。

表7－3　4个混合物样品中亮氨酸、异亮氨酸的MLR模型预测浓度与实际浓度　单位：%

分析原因可能有两个：一是两个组分亮氨酸和异亮氨酸之间存在相互作用，直接采用各组分的吸光系数代替其在混合溶液中的吸光系数会带来较大误差；另一个原因是吸光系数矩阵B的两列之间高度线性相关（二者的相关系数r＝0.997 3），使式（7－2）中矩阵（BBT）为一病态矩阵，其求逆运算会带来很大误差。

在MATLAB下输入命令

可得

显然本例中矩阵BB^T几乎是一个奇异矩阵，对其求逆误差势必十分巨大。