的算法步骤

6.4.2　PLSR的算法步骤

为方便起见，我们将自变量和目标（因）变量当作X块和Y块来叙述，并暂且省略表示PLS成分序号的下标h。PLSR算法涉及的变量、矢量、矩阵的符号与解释见表6－10。

表6－10　PLSR原理的符号及说明

续表

（1）取目标变量（因变量）Y的任一列（通常取第一列）作为其得分的初值

（2）在自变量X块，让因变量Y块的得分s和自变量X进行回归，参照式（6－31）可求得s与X间线性关系的权重系数

（3）归一化

（4）参照式（6－33）求X块的得分

（5）在因变量Y块，用自变量X块的得分向量t和因变量Y进行回归，参照式（6－31）可求得t与Y之间线性关系的权重向量

（6）归一化

（7）参照式（6－33）求Y块的得分

（8）如第（4）步的t和前次迭代的t差别小于某一个阈值，转第（9）步；否则，转第（2）步。

（9）计算X块的载荷

（10）计算Y块的载荷

（11）计算标量r用以内部关联t和s

（12）求残差矩阵并赋给X和Y

这样，完成了一个PLS成分，再回到第（1）步进行下一个主成分的求解，直到完成所需要的成分。一般是计算全部自变量数目（p个）的PLS，在抽取特征变量时再根据需要删去后面的成分。

在上述迭代中，因为有第（12）步X和Y阵用其残差代入，故可使得每次求得的t_h之间相互正交。

图6－16为PLS分解过程中涉及的变量及其示意图。

总结上述PLS分解过程，可简要地描述如下。

（1）X和Y自身变量间的关系

图6－16　PLS分解过程的相关变量与矩阵大小示意

式中，E、F为回归的残差；T、S分别为自变量X与因变量Y的得分矩阵；V与U分别为自变量X和因变量Y矩阵对应的特征向量矩阵。

（2）X和Y的PLS成分之间的关系为

式中，e为Y的得分矩阵S与X的得分矩阵T之间进行回归的残差；R是由各个主成分得分s与t之间的回归系数构成的对角阵，其大小等于最终确定的PLS成分个数。

（3）X和Y的混合关系为

（4）PLS回归分别在X和Y中提取各自的主成分（在PLSR中称为潜变量——latent variable，LV），它们分别为自变量与因变量的线性组合。两者满足以下条件：①两组PLS潜变量分别最大程度地承载自变量和因变量的方差信息；②两组PLS成分之间的协方差最大化。

PLS对每一维度的计算采用迭代的方法进行，在迭代计算中互相利用对方的信息，每一次迭代不断根据X、Y的剩余信息（即其残差矩阵）调整t、s进行第二轮的PLS成分提取，直到残余矩阵中的元素绝对值近似为零，回归式的精度满足要求，则算法停止。此时得到的t、s能同时最大程度地表达X和Y的方差，由此得到的回归系数矩阵R能更好反映X和Y的相关关系。这样建立的X与Y之间的回归模型可滤去自变量X和因变量Y的数据矩阵存在的噪声、消除同类变量间的相关性，而且使得两类变量间的相关性最大，因此PLS回归模型要比PCR能更好地体现X与Y之间的关系。