老师，布劳威尔

尽管希尔伯特的有穷元算术具有清晰明确的康德哲学的印记（参见第6章，§3），但之前的两章仍记录了数学远离康德哲学的显著趋势。在所有本书中讨论的20世纪的作者中，布劳威尔是最康德主义的。布劳威尔（1912：78）将康德哲学封为“一种旧式的直觉主义”（尽管康德并不批判数学实践）。因此，希尔伯特的有穷元算术与直觉主义数学具有紧密联系也并非巧合。布劳威尔与希尔伯特都指出，如果一个人专注于有穷元算术的实践，那么经典的途径与直觉主义的途径之间并没有太多差异。然而，希尔伯特与布劳威尔之间存在实质的和无法调和的分歧。他们关于希尔伯特所谓的理想数学明显地意见相左，而所谓理想数学当然是数学中的一大块。这里更重要的是，他们的事业的哲学背景之间有着大到无法更大的差异。

在一篇比较直觉主义与形式主义的文章中，布劳威尔（1912：77）提到科学原理“只能被理解为在自然中以某种程度的近似而成立”，他还指出“这一规律的主要的例外自古以来就是实践的算术和几何……”。数学“至今为止抵挡了一切以观察为工具的改进”。哲学的问题是去解释数学所享有的这种精确性以及它对于经验修正的免疫。直觉主义与形式主义的不同在于对数学科学的“精确有效性”（exact validity）的来源的不同回答：“数学的精确性在于何处的问题被两边给予了不同的回答；直觉主义者说：在人类理智中；形式主义者说：在纸上。”

对布劳威尔来说，与对康德来说一样，大部分数学真不能得到“分析的证明”。它们不能仅仅通过概念分析而被认识，并且它们并非由于意思而为真。所以大量的数学是综合的。数学的真仍然是先天的，独立于任何特殊观察或其他我们可能具有的经验。布劳威尔认为数学是依据心灵的，是关于人类思维的一个特殊方面的。用第2章§2的术语来说，布劳威尔是本体论上的反实在论者和真值上的反实在论者。并且他绝不是经验主义者。像康德一样，布劳威尔试图在实在论和经验主义之间锻造一种综合体。

对康德以及对布劳威尔来说，经验地证否数学法则的可能性“不仅仅为稳固的信念所排斥，甚至是完全不可想象的”。对布劳威尔，数学是关于人类接近世界的方法。人类只要思考就是以数学的方式思考^[2]。

布劳威尔（1912：77）重申了康德的主要话题，人类不是被动的自然观察者，而是在组织经验的过程中扮演了一个积极的角色：“人无时无刻不在创造自然中的秩序是因为下述事实，他不仅分离现象的因果序列……还在其中补充了由他自己的活动引起的现象……”。数学关注的就是这种积极的角色。

布劳威尔承认，19世纪数学的发展使康德对于几何的观点站不住脚。严格性的产生引发了认为逻辑推理是独立于内容的观念，对射影几何多解释的发展也支持了只有几何定理的逻辑形式有关系的观点（参见第6章，第2节）。这让“纯直观”在几何学中没有了空间。按照布劳威尔的说法，对于康德观点（即认为几何学是关于知觉的先天综合形式的）的主要打击是非欧几何的出现与被接受：“这显示出通常由初等几何语言所描述的现象也可以由非欧几何的语言以同等的精确性来描述；因此，不仅仅不可能再坚持认为我们经验的空间具有欧几里得几何的性质，甚至寻求一种对于我们经验的空间为真的几何都没有意义”（Brouwer 1912：80）。这一观点也被庞加莱（1903：104）所提到过，他是另一位有直觉主义倾向的数学家。

因此，布劳威尔抛弃了康德的空间观。取而代之的是，他提出了一个大胆的建议，把所有的数学建立在康德式的时间观上。像下面一样艰涩的段落出现在布劳威尔著作的各个地方：

［现代直觉主义］把生命的诸时刻分离为质地不同的诸部分思考，只是在仍旧被时间分割的情况下才能重新统一起来，它是人类智慧的基础现象，通过抽象掉它的情感内容得到数学思维的基础现象，即赤裸裸的二一性（two oneness）的直觉。这种二一性的直觉，即这种数学的基本直觉不仅仅创造了一和二，甚至创造了所有有穷序数，因为二一中的一个元素可以被考虑为一个新的二一，而这一过程可以无限地重复。（Brouwer 1912：80）

这似乎是在蔑视清楚的解释。其根本的观点可能是把自然数建立在时间知觉的形式之上，正如康德把几何学建立在空间知觉的形式之上。我们把世界领会为一系列截然区分的时刻。每个时刻引起了另一个时刻。这就是“赤裸裸的二一性”。而第二个时刻让位于第三个，依此类推，由此产生出自然数。

布劳威尔陈述道，这种“基本直觉”把“联系的和分离的”东西统一起来。每个时刻都是独一无二的，又仍然是与每个其他时刻相联系的。这种原始的直觉还使“连续的和离散的”东西统一起来并且“立即就引起了线性的连续统的直觉”。时间的各时刻是截然不同的，但它们仍然是连续地流逝的。布劳威尔提到“在……之间”（between）的概念引出了有理数，并最终引出实数。这个想法似乎是，我们先天地知道任何两个时刻之间存在第三个。时间的连续统“不会被插入新的单位所耗尽，……因而不能被想成仅仅是一些单位的聚集”。因此自然数和实数——离散的和连续的——都建立在时间的直觉之上。这就产生了算术和实分析。

然后，布劳威尔按照标准的笛卡儿式的技巧，通过将点定义为数对而把几何建立在了实数之上。布劳威尔声称，这就使普通平面和立体几何以及非欧几何和n维几何得以成为先天综合的^[3]。甚至几何学最终也基于时间的直觉。

请回忆，对康德来说，算术和几何不是分析的，因为它们依赖于“直观”。正如第4章§2所指出的，在学者之间，关于康德的直观到底是什么存在着相当不同的意见。在那里的处理中，我提出康德先天数学直观的核心要素是构造。特别地，欧几里得式证明关键性的直观（和综合）方面是“出发点”（setting out）（这里一个典型的满足前提的图形会被描绘出来）和辅助性构造（这里读者被指示在给定的图形上画出附加的线和/或圆）。清楚的是，这些构造不是在纸张或黑板上的物理操作，而是理想化的。一个人不可能确实地画出一条没有宽度的直线。对康德来说，欧几里得的“构造”是一种精神活动，是心灵领会知觉形式的主动过程。

布劳威尔非常明确地认为，数学的本质是理想化的精神的构造。例如，考虑命题：对任意自然数n，存在一个质数m＞n满足m＜n!＋2。对布劳威尔来说，这条命题要依据一组程序，即给定任意自然数n，构造一个质数m，m比n大但比n!＋2小。数学家们只有给出这样一组程序才算确立了这条命题。布劳威尔（1912：87—8）讨论了一种版本的施罗德伯恩斯坦（Schröder-Bernstein）定理：如果存在集合A与一个被分为A1＋B1＋C1三份的集合之间的一一对应，又存在A与A1之间的一一对应，那么也存在A与A1＋B1之间的一一对应。这条定理在经典数学中（事实上是在二阶逻辑中）可证明（参见Shapiro 1991：102—3）。然而，布劳威尔写道，直觉主义者对这条命题的解释如下：

如果有可能，第一，构造一组规则来判定A型的数学实体与A1型的数学实体间的一一对应，第二，构造一组规则来判定A型的数学实体与A1、B1和C1型之间的一一对应，那么也有可能从这两组规则通过有穷步的运算得到第三种规则来判定A型的数学实体与A1和B1型之间的一一对应。

这条关于一一对应的存在性的经典定理并没有给出所需的程序。布劳威尔认为，施罗德伯恩斯坦定理不像是可证的，因为我们不知道一种一般的方法来构造得出结论的程序。

布劳威尔对排中律的摒弃来源于他对数学采取构造的观念。首先考虑双重否定消去的推理，这条经典规则允许人们从并非并非Φ推得句子Φ。令P为自然数上的性质，并且考虑命题：存在自然数n满足P对n成立；用符号表示即。对一位直觉主义者来说，这条命题只有当一个人证明了如何构造一个具有性质P的自然数n才能被确立。命题Φ的否定，符号化为Φ，只有当一个人证明了对Φ的假设（与Φ相应的构造）是矛盾的才被确立。因此，双重否定只有当一个人证明了假设是矛盾的才被确立。显然，从假设构造一个矛盾不是去构造一个自然数n满足Pn。事实上，我们可以得出这个矛盾而完全不知道这种n可能是什么。因此，从布劳威尔的观点来看，双重否定消去是无效的。

排中律相应的实例是，或者存在或者不存在一个自然数n满足Pn。要确立这个实例，一个人必须或者构造一个自然数n并证明Pn或者从假设nPn推出一个矛盾。布劳威尔在他整个生涯中不厌其烦地宣称，我们没有相信这条原理普遍成立的先天理由。

布劳威尔（1948：90）承认经典（实或复）分析可能是“适于科学的”，但他认为，它比直觉主义分析具有“更少的数学真”，因为经典分析违背了依赖心灵的数学构造的本质。这是在数学和经验科学间做出的大胆的分离。

布劳威尔把对排中律的信念追溯到一种不正确的和过时的数学哲学，即我称之为“本体论的实在论”的观点。他认为，证明经典数学合法性的“各种方法”“都根据同一个主导观念，即对数学对象世界的存在的预设，这是一个独立于思考着的个体的世界，它服从经典逻辑的法则……”（Brouwer 1912：81）。认为自然数独立于数学家而存在的人很可能把前面的排中律实例解释为“或者自然数的集合包含一个自然数n满足Pn，或者不包含”。从这种观点来看，排中律的每个实例显然都是确实的逻辑真。

请回忆，柏拉图批评几何学家使用动态语言，说着“化、作图、延长及其他类似的术语……”。他坚持认为，“整个科目的真实目标是……那些永存的东西的知识，而不是任何在某时成为而某时又不再是这样或那样的东西”（《理想国》，第7卷，参见之前的第1章，§2以及第3章，§2）。显然，布劳威尔会与几何学家们站在一边而反对柏拉图。数学是关于精神活动的，而不是关于某种由独立存在的实体构成的理想王国的。同样地，语言应该是动态的而非静态的。

按照布劳威尔的观点，数学实践源自人的心灵的内省（introspection）。在哲学中，一句传统观念论的口号是 ：“存在即被感知。”直觉主义一句相应的口号是，在数学中“存在即被构造”。根据布劳威尔的观点，所有数学真对数学家都是可得到的，至少理论上如此：“下述观点，即认为不存在没被经验到的真……在数学中得到接受远远晚于在现实生活和科学之中。严格按照这种观点来处理的数学（包括仅仅通过内省的构造而推出的定理）被称为直觉主义数学”（Brouwer 1948：90）。按照布劳威尔，经典数学家错误地“相信不可知的真的存在性”。

对布劳威尔来说，每句合法的数学命题都直接涉及人类的精神能力。数学断言是被“意识到的，即……传递真，只要这些真曾经被经验到”。因此，正如直觉主义者所理解的，排中律原理相当于全知的原理：“任何某性质与某数学实体的搭配都可以被判断，即被证明或导出谬误。”布劳威尔的论证是，我们不是全知的，所以我们不应该假设排中律。

请回忆，一个数学实体的定义是非直谓的即它涉及包含这个实体的集合（第1章，第2节，以及第5章，第2节）。例如，“最小上界”的通常定义就是非直谓的，因为它利用到一个上界组成的集合来辨别出一个数，而这个被定义的数就是那个集合的一个成员。对本体论的实在论者来说，非直谓定义是无害的，因为利用包含一个实体的集合来辨别出那个客观存在的实体是没有问题的。对实在论者来说，“最小上界”不比“教师中最固执的家伙”有更多的问题。然而，对一个直觉主义者来说，非直谓定义是恶性循环。我们不能运用包含一个数学实体的集合来构造这个实体。

类似地，布劳威尔（1912：82）反对把数学实体的集合当作似乎它们是完成了的全体来考虑。他指责道，经典数学家……“引入各种对直觉主义者来说完全无意义的概念，例如‘由空间中的点组成的集合’、‘由某个变元连续函数组成的集合’、‘由某个变元不连续的函数组成的集合’等等”。对直觉主义者来说，我们从没有完成这些集合中任意一个的所有元素的构造，因而我们不能说这些元素的组成的“那个集合”。

布劳威尔对数学本质及其目的的观念引出了一些在经典数学中（可证地）为假的定理。按照经典的想法，一个实数可以被想成一个无穷的小数，它是一个完成了的无穷。正如布劳威尔（1948）所指出的，经典数学家认为，“从一开始对每个n来说第n个元素就被确定”。而且，任何任意或随机的数字序列都是一个合法的实数。在他生涯的早期，布劳威尔把实数等同于由一个规则给出的小数扩张：“让我们考虑这个概念：‘0和1之间的实数’……对直觉主义者来说，这个概念意味着‘在小数点后构造一个初等数列的规则，这一规则有一组有穷的运算序列构成’”（Brouwer 1912：85）。出于技术上的原因，专注于小数的扩张被证明是笨拙的，而且无论如何，数学家更常说的是有理数的柯西（Cauchy）序列而不是小数扩张。按照这些术语，对早期布劳威尔来说，只有由规则给出的柯西序列才确定合法的实数^[4]。

然而，后来，布劳威尔在规则决定的序列上又补充了称为“自由选择序列”的东西。布劳威尔设想了一种“创造的主体”，它具有自由地在一串展开中的选择序列后构造更多成员的能力（或者说非技术性的继续小数扩张）。自由选择序列没有前面提到的经典的实数的性质，即“从一开始对每个n来说第n个元素就被确定”。规则决定的序列和自由选择的序列的关键特征是两者都只是潜无穷，而不是实无穷。我们从来没有这样一个完整的序列，好像它本就在那里一样。我们只有在我们需要的范围内延续这一序列的能力，或是根据规则或是通过创造的主体来继续制作自由选择序列。

按照这个观点，任何关于一个给定实数的定理必须得归自于该实数的有穷多的信息。对规则决定的序列，数学家可以运用那些规则去确定相应实数的一些事实。然而，对自由选择序列，不存在规则，因而数学家在任一时刻所具有的关于它的信息只是该序列的一个有穷前段。令a为一个自由选择序列。可以得到，任何数学家归于a的性质P必须基于相应的柯西序列的一个有穷前段。这就是说，数学家在判定P是否对a成立之前永远都不需要断定a的整个序列，这只是因为那样的整个序列从不存在。因此，如果a具有性质P，那么存在一个有理数ε＞0，使得如果实数b与a的差距小于ε，那么P也对b成立。运用类似的理由，布劳威尔得出，每个从实数到实数的函数（一律）是连续的^[5]！

这条定理的证明本质上利用到自由选择序列。如果只考虑由规则决定的实数，那么不连续函数就不能在逻辑的基础上被排除。然而，不连续函数的存在导致了不该有的排中律实例。例如，令f为任意函数，使得对任意实数x，有x≤0，则fx＝0；以及x＞0则fx＝1。所以f在0处不连续。现在定义一个柯西序列〈an〉如下：如果不存在小于n的哥德巴赫（Goldbach）猜想的反例，那么an＝1/n；反之令an＝1/p，其中p是满足条件的最小的反例。对直觉主义者来说，〈an〉是一个合法的柯西序列（因为我们可以能行地计算其每一个成员，并且能行地得到任意接近的近似值——参见注释[4]）。令a为〈an〉收敛到的那个实数。请注意，a＞0当且仅当哥德巴赫猜想为假。那么fa的情况怎样呢？我们得到，如果哥德巴赫猜想为假则fa＝1，否则fa＝0。所以我们无法得到fa的0.4之内的近似值，除非我们知道哥德巴赫猜想是否为真。因此，如果f是一个合法的函数，那么或者哥德巴赫猜想为真或者并非哥德巴赫猜想为真。后者是不该有的一个排中律实例（至少直到哥德巴赫猜想被解决之前是，而在这情况下我们会用另一个例子）。

这个论证是所谓的“弱反例方法”的一个实例，直觉主义者通过证明某条经典数学原理（在这里是不连续函数的存在）会导致排中律的实例来驳斥该条原理。举另一个例子，考虑（假想的）函数g满足当x是有理数时gx＝0而当x是无理数时gx＝1。令c为任意实数。如果c是一个自由选择序列，就无法判断c是否是有理数。请回忆，关于一个自由选择序列的任何信息都必须来自相应的柯西序列的一个有穷前段。任意有穷前段（或任意有穷小数）都可以被继续造成一个有理数，而任意前段也可以被继续造成一个无理数。如果c是由规则决定的，那么在一些情况下也许有可能通过关于该规则的推理去判定c是否是有理数，从而判断是否gc＝0。然而，并不存在一般性的方法来计算gc。g的存在又一次导致了不该有的排中律实例。因此，g的定义对直觉主义者来说是不合法的。

与之相对的是，不连续函数对经典数学是重要且常见的。它们被证明对物理学是必要的（参见，例如，Wilson 1993a）。但是，正如上面指出过的，布劳威尔对按照科学的需要裁制数学不以为然。

布劳威尔认识到，直觉主义数学不仅仅是对经典数学的限制，而且是与之不相容的^[6]：“存在不能被嵌入任何经典逻辑框架的直觉主义的结构，也存在不能对应于任何内省印象的经典数学论证”（Brouwer 1948：91）。这里的原因关系到那些领域如何被解释的根本差异：

在直觉主义中成立而不在经典数学中成立的定理常常源自下述的情况：对数学实体来说……具有某个性质就给它们从基本直观发展出来的方式赋予了某种特征，它们从基本直观发展出来的方式的这种特征又导出一些性质，而这些性质对经典数学是假的。

在从康德的数学哲学走出来的趋势之外或与之并列的是，前两章讲到的那些思想家显示出越来越明显的专注于数学的语言和逻辑的趋势。逻辑主义者着手把数学归约为逻辑，声称数学只不过是逻辑，而形式主义者诉诸在规则规定的方式下操纵字符的实践。科法（1991）称该趋势为语义学传统，达米特将其封为“语言学转向”。布劳威尔冲击了这个趋势。对他来说，语言只不过是一种为了交流精神所构造的不完美的媒介，并且正是这些构造才构成了数学的本质。假设一位数学家完成了一个精神构造，并且想与其他人分享它。她在纸上写下一些符号并提交给杂志社。如果在编辑和后来的读者那里都进展顺利，别的数学家就可以通过阅读该杂志中的符号亲身经验到这个精神的数学构造。然而，像其他媒介一样，语言是会出错的。读者可能不能“理解它”（get it），即他们可能在阅读完（或尝试过）之后无法经验到任何构造，或者他们可能经验到一个与第一位数学家不同的构造。无论哪种情况，问题都与第一个数学构造无关。就像在电影《铁窗喋血》（Cool Hand Luke）中一样，我们这里有的（只是）交流的失败。按照布劳威尔的观点，逻辑只是通过语言交流数学的规则的一种编码。

因此，对布劳威尔来说，逻辑主义和形式主义都专注于数学交流这一外部的附属物，而完全忽视了数学的本质。他明确反对关于一致性证明的考虑：

在构造中……无论日常语言还是符号语言，除了作为数学的辅助工具来帮助数学记忆或允许不同的个人建造相同的［结构］之外，不再具有其他的作用。出于这个原因，直觉主义者决不会因为像一个理论无矛盾性的证明、用有穷语词定义其概念的可能性……或它不会导致人类关系之间的误解的实践的确定性这样的担保而感到该数学理论的确实性是有保证的。（Brouwer 1912：81）

换句话说，专注于语言和逻辑是没有抓住数学的要点。