柏拉图的理性主义和亚里士多德

让我们从头开始。一个非常适合开始的地方。

（音乐之声）　　

从古希腊开始我们的历史叙述是很自然的，因为众所周知，我们今天所知道的数学和哲学都诞生于那个时候。显然，前希腊时代的数学主要是计算技术和计数系统，关心的或者是宗教，或者是像划分土地这样的实际事务。无论如何，是希腊数学家开始了精确和严格的证明。

传说有一次阿波罗的神谕说如果某个祭坛的尺寸加倍而形状不变，瘟疫就会结束。如果居民们将祭坛的每个维度（长、宽、高）增加三分之一，则结果就会是原来尺寸的2.37倍。人们或许认为神会对多出的37％感到高兴，但传说中却说，在人们将祭坛的每边加倍，使它的尺寸增加到8倍后，瘟疫仍在继续。如果居民们将原来的每边增加26％，则祭坛将会是原有体积的2.0004倍。确实，这将使神满意。两倍尺寸和2.0004倍尺寸之间的差别是实验无法察觉的，至少对人类是这样。然而，希腊数学家却以精确加倍祭坛为自己的任务。他们对近似不感兴趣，不管它是多么的接近。大概是这个消灾避祸的“实际”问题导致了加倍立方体的几何学问题：给定一条线段，只用圆规和没有刻度的直尺，作出一条线段，使以其为棱的立方体是以原有线段为棱的两倍。数学家们想要它精确并且他们想让它得到证明。类似的两个问题是三等分一个角和作出一条线段使以其为边的正方形与已知圆的面积相等。任意精度的近似都可得到，但都不算数。这些问题让数学家研究了许多世纪，最终在2000多年后得到结论说它们是无解的——这些任务是不可能完成的。

库恩（Thomas Kuhn）颇有影响的《科学革命的结构》（Structure of Scientific Revolutions，1970）讲到，革命和“范式的转换”给理解以前的科学工作带来了困难。按照库恩的观点，为了理解先前的工作，我们必须不学习现有的科学，并且使自己沉浸于已被推翻的世界观中。因为从过去到现在，其间的革命已经永久改变了那时的概念和工具，使过去的工作同我们的工作“不可通约”。数学又如何呢？如果库恩的哲学和科学历史主义应用于数学，革命和范式转换就变得极为微妙了。一个当代数学家不必作很多（如果有的话）概念的重组就能阅读和欣赏欧几里得的《几何原本》。现代逻辑技术发现了一些推理中的缺陷，但欧几里得所关心的却与我们相似，他的证明和构造也是如此。尽管有逻辑的缺陷，《原本》依然是数学严格性的典范。《原本》是柏拉图时代已经充分进行的研究的顶点，这是世所公认的。

古希腊也是西方世俗哲学的诞生地。我们看到苏格拉底（Socrates）、柏拉图和亚里士多德（还有一些前苏格拉底哲学家）致力于许多仍被今天的哲学家所关注的问题，其中包括本书处理的一些问题。柏拉图处于一个有时称为理性主义或“柏拉图主义”（Platonism）（或小写的“柏拉图主义”（platonism），如果你想同大师保持一点距离的话）的长久的哲学传统的顶端。下一节是对柏拉图的一般哲学，或者说他的相论（theory of Forms）作一简单介绍。接下来是讨论柏拉图的数学——算术和几何——哲学。随后一节则调转方向，讨论数学对柏拉图哲学发展的影响。本章的最后一节是关于亚里士多德的，他是柏拉图的学生和主要的反对者。它可以过渡到本书后面对经验主义的讨论。