必然性和先天知识

稍作考虑即可发现在我们获得知识的很多最出色的努力中都有数学的参与。因此，数学哲学在很大程度上是认识论——在哲学中处理认知和知识的部分——的一个分支。但是，数学至少表面上与其他求知的努力不同。特别是与科学追求的其他方面不同。基本数学命题似乎没有科学命题的偶然性。直观地说，太阳不必有9颗行星，可以有7颗，也可以没有；万有引力不必遵循与（距离）平方成反比（inverse square）的规律，即使是近似地。相反，数学命题，像7＋5＝12有时被当作必然真理的范例，简直不可能有其他情况。

科学家会乐意承认她的较为基本的论题可能是假的。这种谦恭被科学革命的历史所印证，在革命中，长期存在且深信不疑的信念被推翻了。数学也能严肃地支持这种谦恭吗？能怀疑数学归纳法对自然数成立吗？能怀疑7＋5＝12吗？有没有数学革命，其结果是推翻长期存在的核心的数学概念？恰恰相反，数学方法论似乎不像科学那样是或然性的。存在一个关于数学陈述或然性的协调一致的概念吗？至少初看起来，比起万有引力定律，数学归纳原理，或“7＋5＝12”或素数的无穷性的认识基础更为牢固，完全是另一种类型。与科学不同，数学通过证明展开，一个成功的、正确的证明扫除了所有基于理性的怀疑，不仅仅是所有有理由的怀疑。一个数学证明要表明它的前提逻辑地蕴涵它的结论。前提为真而结论为假是不可能的。

在任何情况下，多数思想家都同意基本的数学命题享有高度的确定性，它们怎么会假呢？它们怎么会被有理性的生物——除了那些认为一切都应怀疑的普遍怀疑论者——所怀疑呢？数学似乎对任何推理都完全是本质的。如果，作为哲学思想试验的一部分，我们试着怀疑基本的数学，那不很显然我们干脆就不能继续思考了吗？

“先天”这个词的意思差不多是“先于经验”或“独立于经验”。它是一个认识论概念，如果知识不是基于任何“关于现实世界中事件的特殊过程的经验”（Blackburn 1994：21），那一个命题就定义为先天获知的。人们也许需要经验来把握该命题牵涉的概念，但不需要有关世界的其他特殊经验。如果一个命题不是先天获知的，那它就是后天获知的或经验的。也即是说，一个命题是后天获知的，如果知识是基于关于世界呈现方式的经验。一个真命题本身是先天的，如果它能成为先天获知的；而一个真命题是后天的，如果为了认识这个命题，关于世界（超出把握概念所需要）的经验是必需的。

后天命题的典型例子是“这只猫在毯子上”和“万有引力遵循与距离平方成反比的规律”。我们将会看到（第4章，第3节；第8章，第2节），有些哲学家认为不存在先天知识，而对其余的哲学家来说典型的先天知识包括“所有红色物体是有颜色的”和“没有什么东西能在同一时刻既是完全红的又是完全绿的”。也许最常被引用的例子是逻辑和数学的命题，这正是我们现在集中讨论的。数学似乎并不像科学一样基于观察之上，再说一遍，数学基于证明之上。

因此任何完整的数学哲学有义务说明数学的至少表面看起来的必然性和先天性。也许最直截了当的选择就是先阐明必然性和先天性的概念，然后说明如何应用于数学。我们称此为“传统路线”。它遵循的准则是事物与其表现出来的完全一样。传统路线的责任是要严格说明：某物是必然和先天可知的是怎么一回事。在今天的氛围中，没有人有权力声称这些概念是足够清晰和明确的。如果哲学家要援引必然性和先天性这两个孪生概念，那么她必须说明她所援引的是什么。

传统图景中有一个重要的张力。根据这种观念，数学是必然和先天可能的，但数学与物理世界有某种联系。如已注意到的，数学对于科学地探索世界来说是本质的东西，而科学又无疑是经验的——尽管有理性主义立场。这样的话，关于必然真理的先天知识如何能在日常经验的知识获得中扮演主角呢？伊曼努尔·康德的关于算术和几何是“先天综合的”论题是调和数学这些特征的英勇尝试（见第4章，第2节）。照康德的观点，数学与知觉的形式有关。它涉及我们知觉物质世界的方式。欧氏几何则涉及空间直观的形式，而算术则涉及时空直观的形式。这样数学是必然的，因为我们不能以别种方式建构世界。我们必须通过这些直观形式知觉世界，没有其他形式可供我们使用。数学知识是先天的，因为我们不需要任何关于世界的特殊经验就能把握知性直观的形式。

说康德的观点曾经并依然具有影响那可太过轻描淡写了，但他对数学的观点却几乎从一开始就被认为是有问题的。康德的观点可能错在把先天性和必然性这样一些困难的问题和费解的概念换成了涉及直观的更困难的问题。阿尔贝托·科法（Alberto Coffa）（1991）指出，整个19世纪西方哲学讨论的主要课题就是不援引康德的直观来说明数学（至少）在表面上的必然性和先天性，以及数学的应用性。这个课题今天依然存在。

哲学家的另一种选择是论证数学原则不是必然的或先天可知的，也许因为没有什么命题享有这样的荣誉。一些经验主义者为这种非传统的选项所吸引，拒斥或严格限制先天性。在蒯因的自然主义/经验主义的影响下（见第1章，第3节；第8章，第3节），今天这样的观点比以往任何时候都流行，特别是在北美。追求这种非传统选项的哲学家有一个负担，那就是要说明为什么看起来数学是必然的。人们不能简单地忽略，关乎数学特殊状态的长期存在的信念，也就是说，即使传统信念是错误的，也一定有某些有关数学的东西，使得如此众多的人去相信它是必然的和先天可知的。