山丘的高度——数学建模

第1章　数学建模概述

近半个多世纪以来，随着计算机技术的迅速发展，数学的应用不仅在工程技术、自然科学等领域发挥着越来越重要的作用，而且以空前的广度和深度向经济、金融、生物、医学、环境、地质、人口、交通等新的领域渗透，所谓数学技术已经成为当代高新技术的重要组成部分.不论是用数学方法在科技和生产领域解决哪类实际问题，还是与其他学科相结合形成交叉学科，首要的和关键的一步是建立研究对象的数学模型，并加以计算求解.数学建模和计算机技术在知识经济时代的作用可谓是如虎添翼.

数学是研究现实世界数量关系和空间形式的科学，在它产生和发展的历史长河中，一直与各种各样的应用问题紧密相关的.数学的特点不仅在于概念的抽象性、逻辑的严密性，结论的明确性和体系的完整性，而且在于它应用的广泛性.20世纪以来，随着科学技术的迅速发展和计算机的日益普及，人们对各种问题的要求越来越精确，使得数学的应用越来越广泛和深入，特别是进入21世纪的知识经济时代，数学科学的地位发生巨大的变化，它正在从国家经济和科技的后备走到了前沿.经济发展的全球化、计算机的迅猛发展，数学理论与方法的不断扩充使得数学已经成为当代高科技的一个重要组成部分和思想库，数学已经成为一种能够普遍实施的技术.培养学生应用数学的意识和能力已经成为数学教学的一个重要方面.

数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并解决实际问题的一种强有力的数学手段.数学建模就是用数学语言描述实际现象的过程.这里的实际现象既包涵具体的自然现象比如自由落体现象，也包涵抽象的现象比如顾客对某种商品所取的价值倾向.这里的描述不但包括外在形态，内在机制的描述，也包括预测，试验和解释实际现象等内容.

我们也可以这样直观地理解这个概念：数学建模是一个让纯粹数学家（指只懂数学不懂数学在实际中的应用的数学家）变成物理学家，生物学家，经济学家甚至心理学家，等等的过程.数学模型一般是实际事物的一种数学简化.它常常是以某种意义上接近实际事物的抽象形式存在的，但它和真实的事物有着本质的区别.要描述一个实际现象可以有很多种方式，比如录音，录像，比喻，传言，等等.为了使描述更具科学性，逻辑性，客观性和可重复性，人们采用一种普遍认为比较严格的语言来描述各种现象，这种语言就是数学.使用数学语言描述的事物就称为数学模型.有时候我们需要做一些实验，但这些实验往往用抽象出来了的数学模型作为实际物体的代替而进行相应的实验，实验本身也是实际操作的一种理论替代.

下面通过三个例子由浅入深让大家明白什么是数学模型与什么是数学建模.

例1-1　测量山高问题

小明站在一个小山丘上，想要测量这个山丘的高度.他站在山边，采取了最原始的方法：从小山丘向下丢一小石子，5 s后他听到了从小山丘下传来的回音.请各位尝试建立数学模型估计小山丘的高度.

【解题思路】

数学建模的初学者一看到这个问题也许会认为数学建模并不是一件困难的事情，因为很多学生在高中时就遇到过这个问题.确实是这样！这是一个比较简单的实际问题（数学建模问题），大家很容易得到：

运用自由落体公式，可以计算出山的高度.也许有人会提出疑问：上述运算是数学建模吗，这样数学建模不是很简单吗？是的，可以认为这样的运算过程就是数学建模.上述建立的模型可以称为最理想的自由落体模型，因为这是在非常理想化状态下建立的模型，它没有考虑任何其他可能影响测量的因素.数学模型就是一个解决实际问题的方法，上述方法解决了测量山高度的问题.但是在此需要说明一点：数学建模问题与其他数学问题不同，数学建模问题的结果本身没有对错之分，但有优劣之分.建立模型解决问题也许不难，但是需要所建立的数学模型能够有效地指导实际工作就比较困难了.这正是数学建模的难点，也是各类数学建模竞赛考查的主要内容.下面继续通过这个例子来解释数学模型间的优劣之分.

虽然上述理想的自由落体模型可以计算出山的高度，但计算所得到的结果可能存在较大的误差.122.5 m这个答案在高中考试中应该是一个标准答案，不会认为这个答案是错误的.但是测量队在测量山高时绝对不会采用上述计算得到的结果，因为它可能存在较大的误差，所以它是不能被接受的.在研究这个问题的同时请各位不要忘记：现在我们在这里研究的不再是一个抽象的理论问题而是具体的实际问题，各位所建立的数学模型或者结果应该能对实际工作有较强的指导意义，应该尽力使求得的答案贴近事实.

那么在这个问题中我们还需要考虑哪些因素？例如人的反应时间，在现实中这是一个需要考虑的因素.通过查找资料（查阅资料在数学建模中极其重要，也是现代大学生必须具备的基本素质，http：//iask.sina.com.cn/b/3352472.html），可以知道人的反应时间约为0.1 s左右，那么计算式子在结果上能够得到改善：

数学建模竞赛是一种开放性的比赛，竞赛过程中允许查找相关资料来帮助求解.通过上面的分析可以发现117.649 m比122.5 m更加接近实际情况.相比理想的自由落体模型，以上的数学建模过程可以称为修正的自由落体模型.就实际测量而言，修正的自由落体模型比理想的自由落体模型更加优秀，因为得到的结果更加接近实际.两种模型得到的答案也可以说都是正确的，两种答案都是基于不同的假设前提得到的.理想自由落体模型假设不考虑人的反应时间，如果你作为数学建模竞赛的评委，相信你会选择修正自由落体模型，因为它得到的答案更加接近实际情况.

一个优秀的队伍往往能够做得更多！在考虑人的反应时间这一因素后，还有没有其他因素需要考虑，例如空气阻力？各位有了这样的思维外，还拥有微积分这一解题工具.通过查阅相关资料，可以发现石头所受空气阻力和速度成正比，阻力系数与质量之比为0.2.由此我们又可以建立以下微分方程模型：

在竞赛培训中很多学生可能认为自己的数学能力不够好，因此打退堂鼓.然而他们不知道现在已经有很多数学软件可以帮助他们完成编程任务.这样使得所有专业的学生站在同一起跑线参加竞赛.如果大家不能够解决上述的微分方程，那么就交给软件去做.上述常微分方程，通过数学软件Matlab的编程计算一点也不困难，仅仅一行代码即可得到答案.Matlab的人机交互界面做得很好，大家可以上机训练.

数学建模竞赛是一个开放式的竞赛，大家可以借助一切手段（数学软件、图书资料等）得到你想要的结果.正是因为这一点，可以使所有参赛的学生站在同一起跑线上.整体上来说数学软件Matlab是一个非常庞大的软件，要全部掌握它是很困难的，而数学建模竞赛仅仅只用到其中的部分知识.Matlab在数学建模中的应用，本书将结合例子作一些讲解.

通过以上计算可以发现，计算结果得到了很大的改善，理想自由落体模型计算方法得到的山高122.5 m的确存在着较大的误差.如果用心，大家可以做得更好.在实际生活中，回音传播时间是另一个不可忽略的因素.因此我们在上述模型的基础上引入回音传播时间t₂，对模型进行如下修改：

在这个例题中，先后呈现了四种不同的解题方法，也可以说四种不同的数学模型.希望大家能够通过这个例子体会到数学模型的真谛：能够解决问题的方法就是数学模型，其本身没有对错之分，以上四种模型计算得到的答案应该说都是正确的，但是其本身有优劣之分，问题在于思考的角度.它是一种新的思维方法，从上面的例子可以得到，数学模型往往是以下两个方面的权衡：

1.数学建模是用以解决实际问题的，所建立的模型不能太理想、太简单，过于理想化的模型往往脱离实际情况，这就违背了建模的目的；

2.数学建模必须是以能够求解为前提的，建立的模型一定要能够求出解，所建立的模型不能过于实际，过于实际的模型往往难以求解，因此作适当的简化假设是十分重要的.

【思考题】

针对考虑回音传播时间的数学模型进行改善，如地球重力场加速度g并非常数；当石头速度过大时，空气阻力与速度之间可能存在非线性关系等.

例1-2　教室光照问题

现有一个教室长为15 m，宽为12 m，在距离地面高2.5 m的位置均匀地安放4个光源，假设横向（纵向）墙壁与光源、光源与光源、光源与墙壁之间的距离是相等的，各个光源的光照强度均为一个单位.求：

1.如何计算教室内任意一点处距离地面1 m处的光照强度？（光源对目标点的光照强度与该光源到目标点距离的平方成反比，与该光源的强度成正比）.

2.画出距离地面1 m各个点的光照强度与位置（横纵坐标）之间的函数关系曲面图，同时给出一个近似的函数关系式.

【解题思路】

假设光源对目标点的光照强度与该光源到目标点距离的平方成反比，并且各个光源的光照强度符合独立作用与叠加原理.在光源点的光照强度为“1”，并且在整个空间中反射情况可以忽略不计.

取地面所在的平面为xOy平面，x轴与教室的宽边平行，y轴与教室的长边平行，坐标原点在地面的中心，如图1-1所示.在空间中任意取一点i，它的坐标可以表示为（x_i，y_i，z_i），那么空间点i的光照强度E_i应该满足以下公式：

将空间点i的纵坐标设定为1，就可以计算距离地面高1 m处各点的光照强度.在Matlab计算中都是对离散点进行操作的，因此将距离地面高1 m处的12 m×15 m的平面离散为网格，每隔0.25 m取一个点，而点与点之间采用插值算法，可以得到这个平面的光照强度，如图1-2所示.

图1-1　教室坐标示意图

图1-2　无反射情况下教室光照强度示意图

通过示意图可以发现：在这个距离地面为1 m的平面中，四个灯下的光照强度是最强的.上述模型是建立在不考虑墙面反射基础上的.那么忽略反射的想法是否正确呢？考虑墙面反射对于平面各点光照强度会带来怎样的影响？为方便求解，首先假设墙面反射满足镜面反射原理，这也是最简单的假设.重新计算可以得到在距离地面为1 m的平面中各点的光照强度如图1-3所示.对比有无一次镜面反射，平面光照强度的改善情况如图1-4所示.从图中可以发现：墙边附近的光照强度改善最大，墙角和墙边的改善最小，因为墙角和墙边的反射是最少的，这些都与实际情况符合.

图1-3　反射情况下教室光照强度示意图

图1-4　两种情况下教室光照强度对比示意图

图1-4显示：通过一次镜面反射光照强度最大可以提高0.1左右.那么如果考虑二次反射，二次反射所能增加的光照强度将更小，因此可以忽略不计.需要注意的是在实际生活中，墙面的反射并不是镜面反射，光源也不是点光源，光照强度也并非简单叠加.这样建立的模型将更为复杂！

【思考题】

请同学可以阅读2002年全国大学生数学建模竞赛（CUMCM2002）的车灯线光源的优化设计问题，设计更为合理的光照强度模型.安装在汽车头部的车灯的形状为一旋转抛物面，车灯的对称轴水平地指向正前方，其开口半径36 mm，深度21.6 mm\.经过车灯的焦点，在与对称轴相垂直的水平方向，对称地放置一定长度的均匀分布的线光源.要求在某一设计规范标准下确定线光源的长度.该设计规范在简化后可描述如下.在焦点F正前方25 m处的A点放置一测试屏，屏与FA垂直，用以测试车灯的反射光.在屏上过A点引出一条与地面相平行的直线，在该直线A点的同侧取B点和C点，使AC=2AB =2.6 m.要求C点的光强度不小于某一额定值（可取为1个单位），B 点的光强度不小于该额定值的2倍（只需考虑一次反射）.

请解决下列问题：在满足该设计规范的条件下，计算线光源长度，使线光源的功率最小.对得到的线光源长度，在有标尺的坐标系中画出测试屏上反射光的亮区.讨论该设计规范的合理性.

例1-3　污染预测问题——CUMCM2005（部分）

长江是我国第一、世界第三大河流，长江水质的污染程度日趋严重，已引起了相关政府部门和专家们的高度重视.2004年10月，由全国政协与中国发展研究院联合组成“保护长江万里行”考查团，从长江上游宜宾到下游上海，对沿线21个重点城市做了实地考查，揭示了一幅长江污染的真实画面，其污染程度让人触目惊心.假如不采取更有效的治理措施，依照过去10年的主要统计数据，对长江未来水质污染的发展趋势做出预测分析，比如研究未来10年的情况.表1-1为1995—2004年长江的排污量，根据以上数据，预测2005—2014年长江的排污量.

表1-1　1995—2004年长江排污量

【解题思路】

如果能够找到一种合理的函数形式来表示数据的增长趋势，函数的自变量为年份，因变量为预测量，就可完成预测工作.一旦找到了这样的函数，只需要将预测的年份代入函数表达式，就可以做预测了.根据实际数据，运用最小二乘拟合方式，便可以确定函数的系数.预测过程如下所示：首先将1995—2004年的数据以图形的方式表现出来如图1-5所示，这样可以观察数据所蕴含的内在关系.通过观察，可以发现数据以类似二次函数形式增长.因此可以假定数据以二次函数的形式增长，通过最小二乘拟合确定二次函数的系数（可用Matlab来实现），并预测2005—2014年的污染量数据，如图1-6所示.

图1-5　污染量趋势示意图

图1-6　污染量预测示意图

寻找出与实际数据最贴近的二次函数表达式为：

通过图1-6可以发现拟合效果还是比较好的，通过分别代入年份（Year）2005—2014，就可以得到那些年份的污染量数据如表1-2所示.

表1-2　2005—2014年污染量预测

以上三题虽然涉及的内容各不相同，但是作为数学建模问题有着以下的共同之处：

1.都是通过建立数学模型解决实际问题，可以看出数学模型不是特指的那一块数学知识内容，而是指一种解决问题的思想.数学模型的很多内容对大家来所并不是全新的，本书的目的就在于帮助大家整理所学过的数学知识，用所学的知识来解决实际问题.

2.数学模型本身没有对错，只是在方法、结果上有优劣之分.解决一个实际问题的方法也许有很多，所建立的数学模型也会有很多，但是大家要学会分析和思考.数学建模竞赛通常没有一个预设的标准答案，它考查大家的数学创新能力与应用能力.

通过以上三个例子简单介绍，希望大家初步能够明白什么是数学模型、对数学建模的过程有一个大致的了解.下面我们将比较系统地介绍数学建模的一般步骤，明白如何建立一个数学模型.