素朴的概念。理论分类

（b）证明引生的概念VS.素朴的概念。理论分类VS.素朴分类

PI：我且回到证明引生的定理上：“所有带单连通面的简单多面体是欧拉多面体。”这一表述是令人误解的。应该写作：“所有带单连通面的简单物体（objects）是欧拉多面体。”

GAMMA：何故？

PI：前一个表述暗示，定理中的简单多面体类是素朴猜想的“多面体”类的一个子类。

SIGMA：简单多面体类当然是多面体的一个子类喽！“简单多面体”的概念收缩了多面体原来较广的类，将它们限制到了可应用我们证明的第1引理的那一部分。“带单连通面的简单多面体”概念表示对于原来的类的进一步收缩……

PI：不对！原来的多面体类就是只包含简单的、带单连通面的多面体。Omega过去的错误在于他说引理并入减少了内容^[146]。

OMEGA：可是，每并入一次引理难道不都排除了一个反例吗？

PI：当然排除了：但排除的是概念拉伸产生的反例。

OMEGA：所以引理并入使内容保存，就像怪物排除一样？

PI：非也。引理并入增加内容：怪物排除不增加。

OMEGA：什么？你真想让我相信，引理并入不但不减少内容却还要增加内容？不但不收缩概念，却还要拉伸概念？

PI：正是如此。听好了。一个地球仪，其上绘有一张政治地图它是否属于原多面体类？

OMEGA：当然不属于。

PI：但有了柯西证明它便属于了。因为你可在其上毫无困难地施行柯西证明——当然，上面必须没有环状的国家或大海^[147]。

GAMMA：说得对！将多面体吹胀成球体、把棱和面扭歪丝毫不扰乱我们的证明工作——只要扭歪的过程不改变顶点、棱、面之数目。

SIGMA：我明白你的意思了。于是证明引生的“简单多面体”便不仅是收缩和明细说明，还是概括，还是对素朴“多面体”的扩展^[148]在柯西证明之前，人人都很难想到去概括多面体概念，使其包含弄皱的、由曲线组成的带曲面的“多面体”；即使想到了，也斥之为有毛病而拒绝承认。但现在这是个自然的概括了，因为我们的证明操作对这些多面体都解释得通，与面平棱直的普通的素朴多面体没什么两样^[149]。

PI：妙。不过你还有不止一步的工作要做。证明引生的概念既非素朴概念的“明细说明”，亦非其“概括”。多证多驳对素朴概念的革命性影响远不止此：它们简直就是完全抹去了关键的素朴概念而代之以证明引生的概念^[150]。多面体这一素朴词语，即使被反驳者拉伸以后，也还是指晶体似的东西，那种面“平”棱直的立体。而各种证明思想吞食了这个素朴概念，彻底把它消化了。在各种不同的证明引生定理中，我们连个素朴概念的影子也看不见。它消失得无影无踪。倒是每一个证明得出了体现自己特征的证明引生概念，即是指可拉伸性、可吹胀性、可照相性、可投影性以及诸如此类的性质老问题消失了，新问题出现了。在哥伦布之后，如果没有解决开始着手解决的问题，并不应觉得吃惊。

SIGMA：所以，“立体论”这个欧拉猜想原来的“素朴”王国消解了，而重建的猜想，若是被日果内证明的，便重新出现在投影几何学中，若是被柯西证明的，便重新出现在分析拓扑学中，若是被庞加莱证明的，便重新出现在代数拓扑学中……

PI：此言甚是。你现在会理解，我何以不像Alpha或Beta一样把定理表述为：“所有日果内多面体是欧拉多面体”、“所有柯西多面体是欧拉多面体”等等，却这样说：“所有日果内对象是欧拉式的”“所有柯西对象是欧拉式的”等等^[151]。所以，关于素朴概念的精确性的争吵我觉得索然无味，关于素朴猜想的真实性和虚假性的争吵我亦无兴趣。

BETA：保留“多面体”一词，来表示我们最喜欢用的证明引生词语，比方说，“柯西对象物体”，是肯定可以的吧？

PI：你喜欢便可，不过要记住，你的术语不再指称其开始所指称的：素朴的意义已经消逝，现在它用来指……

BETA：……指更一般的、改进后的概念！

THETA：不是！是指完全不同的、新颖的概念。

SIGMA：我以为你们的观点是自相矛盾的！

PI：若你说的自相矛盾是指“尚未得到公认的观点”^[152]，可能与你根深蒂固的素朴见解不相容，便不要紧：你只须换下你的素朴见解代之以自相矛盾者即可。这便是“解决”悖论的一条路。但你心里想的是我的那个具体观点呢？

SIGMA：你想一想，我们曾发现一些星状多面体为欧拉多面体，而另一些不是。我们曾经在寻找一个足够深刻的证明，来同时解释普通多面体和星状多面体的欧拉性……

EPSILON：我有这个证明^[153]。

SIGMA：我知道。但为了方便讨论，我们设想并无如此的一个证明，并且设想除了“普通”欧拉多面体的柯西证明之外，某人又为欧拉星状多面体提出了一种相应的却全然不同的证明。Pi，因为这两个不同的证明，你便要提议将我们之前划为一类的多面体一分为二吗？两种完全不同之物，你只是因为某人给它们的一些性质找了个共同解释，便要将两者统一于同一名义之下？

PI：我当然要。我自然是不会指鲸为鱼、指收音机为噪声盒的（土著人或许这样叫），一个物理学家要说玻璃是液体，我亦不会为之心烦意乱。在不断的进步中，素朴分类下台了，理论分类，即理论引生的（证明引生的，或者你喜欢也可叫解释引生的）分类上台。猜想与概念都必须通过多证多驳的炼狱阶段。由多证多驳法而来的改进后的猜想（定理）和概念（证明引生的或理论的概念），取代了素朴猜想与素朴概念。随着理论观念和概念取代素朴观念和概念，理论语言便取代了素朴语言^[154]。

OMEGA：最后，我们总会由素朴的、偶然的、仅仅有名无实的分类到达最终正确的、真实的分类，到达完美的语言^[155]！