向最终证明与相应的充分必要条件进军

（b）向最终证明与相应的充分必要条件进军

OMEGA：因为第三种反例摧毁了虚假性转播，你批评了证明分析^[103]。我现在要就第二种反例摧毁了虚假性传导（或等于是一回事的真实性之传导）来批评它们^[104]。一个证明必须在欧拉性现象的整个范围内对之作出解释。

我不但追求确定性，还追求终极性。定理必须是确定的——其论域内，决不能有任何反例；而它也必须是终极的：其论域外必不再有任何例子。我要在例子与反例的正中间画一条分界线，而不只是把线画在一边是少许例子的安全范围与另一边是例子与反例的大杂烩之间。

LAMBDA：即是说，你要定理的条件不但是充分的，而且是必要的！

KAPPA：为了讨论的便利，我们想象你已寻着此一主要定理“所有标准多面体是欧拉多面体”。你认识到了吗，只有当其逆定理“所有欧拉多面体是标准多面体”确定无疑时，定理才成为“终极的”？

OMEGA：那是自然。

KAPPA：也就是说，若确定性迷失在恶无限当中，终极性也会这样？你的证明一个比一个深刻，但你会发现，在每一个证明的论域外，至少存在一个欧拉多面体。

OMEGA：我当然晓得如果我解决不了确定性问题，我便不能解决终极性问题。我确信两者我们都可解决。我们要止住无穷无尽的一大串的第一种和第三种反例。

老师：你想方设法地增加内容，这很重要。可何不把你裁决定理是否满意的第二个标准——终极性——看作令人愉快的意外收获，而非义不容辞的责任呢？为何要拒绝那些不包含充分必要条件的有趣证明？为何要认为它们已被驳倒？

OMEGA：嗯^[105]……

LAMBDA：无论事实如何，这一点Omega无疑已说服了我，要想批判地改进素朴猜想，单单一个证明也许是不够的。我们的方法应该收入他的规则4的激进版，因而我们的方法应叫做“多证多驳法，而不叫“一证多驳”法。

MU：不好意思，我插个嘴，我刚把你们的讨论结果翻译成了准拓扑学语言：引理并入法得到了一个收缩序列，由逐渐改进的定理之论域逐层嵌套而成；在隐藏引理一一出现的过程中，这些论域经受不起全局反例的不断攻击，缩小并收敛至一极限：我们且把这极限叫做“证明分析的范围”。如果我们应用规则4的弱版本，这范围便又在局部反例的持续压力下变大。正在扩大中的序列便再次趋于一极限：我且把这极限叫做“证明的范围”。讨论接着显示出，即令是此一极限域，也可能是极狭小的（甚至可能是空域）。我们也许必须构想出更深入的诸种证明，其诸论域形成一个扩充序列，包含愈来愈多的顽抗的欧拉多面体，它们对之前的证明构成局部反例。这些论域，就它们自身而言是极限范围，又会收敛至一个二重极限，叫做“素朴猜想的范围”——这个范围便是最终的探究目标。

此一探试区间的拓扑学将成为数学哲学的一个问题：这些序列是无限的吗？它们究竟收敛吗？是否达到极限？极限会是空集吗？

EPSILON：我发现了一个证明，比柯西证明更深入，还可解释Omega的“大星状十二面体”的欧拉性！［递给老师一张纸条。］

OMEGA：终极的证明到来了！欧拉性的真正本质此时此刻便可揭示开来！

老师：不好意思，时间不够了：只好下次讨论Epsilon这个十分繁复的证明了^[106]。我确实瞧见的还不是Omega的意义上的终极是吗，Beta？