正切计算法

3.9.1　正切计算法

首先从三个光组的复合出发，再推广到多光组的复合。

如图3.37所示，已知位于空气中的三个光组的基点位置及其间隔d₁、d₂，自物方作一条入射高度为h₁的平行于光轴的入射光线（U₁=0），经光组Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，在三个光组上光线的投射高度分别为h₁、h₂和h₃；光线经各光组后与光轴的交角分别为U₁=0，U₁＇=U₂，U₂＇= U₃。根据定义，显然应有：

图3.37　多光组复合的光路计算法

像方焦点位置　　　　　　　　　；

像方焦距　　　　　　　　　　　　　；

像方主面位置　　　　　　　　　　　l_H＇=l_F＇－f＇

推广至一般，对由K个共轴光组组成的复合系统，应有

l_H＇=l_F＇－f＇　　　　　　　　　　　　　　　（3.83）

上述结果表明，如给定入射光线在光组Ⅰ上的投射高度h₁，只要设法求出光线在最后一个（第K个）光组上的投射高度（h_k）以及出射光线与光轴的交角（U_k＇），即可求出复合系统的像方基点位置和焦距。

而为了求出h_k和U_k＇，必须建立光线经多光组连续折射的光路计算公式。为此，从有限远轴上物点发出的光线经两光组连续折射的具体情况出发，推导出光线经任意相邻两光组连续折射的一般公式。

如图3.38，对光组Ⅰ应用高斯公式，并在等式两边均乘以h₁，得到

图3.38　两光组连续折射光路计算

上式即为：，

可改写为：　　　　　　　　　　　　　　　（3.84a）

再将截距的转面公式（式（3.8））l₂=l₁＇－d₁与tanU₂=tanU₁＇式的两端对应相乘，得到：

l₂tanU₂=l₁＇tanU₁＇－d₁tanU₁＇，上式即为：h₂=h₁－d₁tanU₁＇　　　　　（3.84b）

公式3.84（a）、（b）两式即为A₁点发出的光线经光组Ⅰ、Ⅱ连续折射的计算公式，将其推广到任意相邻两光组的连续折射，表为一般形式，应有

h_i+1=h_i－d_itanU_i＇　　　　　　　　　　　　　（3.86）

对由K个光组组成的系统，当给定初始坐标h₁、U₁后，即可连续应用式（3.85）、式（3.86），求出经最后光组的h_k和U_k＇。此即利用正切光路计算公式求物像共轭关系的方法。

当将上式用于求K个光组组成的复合系统的像方基点和焦距时，需令起始值U₁=0；h₁值可取任意值，但为计算简化，常取h₁=f₁＇（或h₁=1）。整个计算可按式如下顺序进行：

求出h_k、tanU_k＇值，代入式（3.81）～式（3.83），即可求出复合系统像方基点和焦距值。

为求复合系统的物方基点位置和焦距值，需按反向光路进行类似的计算。有关反向光路的计算方法将在3.9.2节作具体介绍。

在式（3.81）中，若将tanU_k＇以各光组的光焦度以及光线在各光组上的投射高度来表示，应有（将式（3.85）中所有的角度正切公式合并）：

将上式代入（3.81）式，应有

由上式可以得到复合系统的总光焦度为：

上式对多个薄透镜组合同样适用。由于h₁可任意选取，当取h₁=1时，则上式变为

φ=h₁φ₁+h₂φ₂+…+h_kφ_k=hφ　　　　　　　（3.90）

上式表明：由多光组组成的复合系统，其总光焦度（φ）除与各分光组的光焦度有关外，还与光线在各分光组上的投射高度有关；从另一角度讲，各分光组对复合系统总光焦度的贡献，除了与其本身的光焦度大小有关外，还与该光组在光路中所处位置有关（因位置不同则投射高度不同）。因此，对给定光焦度的分光组，改变其在光路中的位置，即可改变整个复合系统的焦距（光焦度），从而改变系统的成像特性（如横向放大率等均相应改变）。