两个正态总体的情形

在实际中常遇到下面的问题：已知产品的某一质量指标服从正态分布，但由于原料、设备条件、操作人员不同，或工艺过程的改变等因素，引起总体均值、总体方差有所改变，我们需要知道这些变化有多大．这就需要考虑两个正态总体均值差或方差比的估计问题．

设总体X～N（μ1，σ21），Y～N（μ2，），且X与Y相互独立，X1，X2，…，Xn来自X的一个样本，Y1，Y2，…，Yn为来自Y的一个样本，对给定置信水平为1－α，且设X，Y， 分别为总体X与Y的样本均值与样本方差．

1．求μ1－μ2的置信区间

（1）当已知时，由抽样分布可知

所以可以得到μ1－μ2的置信水平为1－α的置信区间为

（2）当未知时，但m，n均较大（大于50），可用分别代替则可得（μ1－μ2）的置信水平为1－α的近似置信区间为

（3）当未知时，由抽样分布可知

若令

由t分布分位数的定义有：P｛｜T｜≤（m＋n－2）｝＝1－α，从而可得：μ1－μ2的可信度为1－α的置信区间为：

例7．3．6 为比较Ⅰ，Ⅱ两种型号步枪子弹的枪口速度，随机的取Ⅰ型子弹10发，得到枪口平均速度为500（m／s），标准差s1＝1．10（m／s），取Ⅱ型子弹20发，得到枪口平均速度为＝496（m／s），标准差s2＝1．20（m／s），假设两总体都可认为近似地服从正态分布，且由生产过程可认为它们的方差相等，求两总体均值差μ1－μ2的置信度为0．95的置信区间．

解 由题设：两总体的方差相等，却未知，所以由（3）知

由于1－α＝0．95，α／2＝0．025，m＝10，n＝20，m＋n－2＝28，t0．075（28）＝2．0484，

故所求置信区间为：＝4±0．93，即：（3．07，4．93）．

在该题中所得下限大于0，在实际中，我们认为μ1比μ2大，相反，若下限小于0，则认为μ1与μ2没有显著的差别．

2．μ1，μ2均未知时，求的置信区间

据抽样分布知：由F分布的分位数定义及其特点：

可得的置信水平为1－α的置信区间为：