正态总体的抽样分布

在概率统计中，正态分布占据着非常重要的地位，这是因为由中心极限定理知，许多随机变量的概率分布都是服从或近似服从正态分布的．本节将给出有关正态总体的抽样分布及相关结论．以下均设X1，X2，…，Xn为来自总体为X的容量为n的一个样本，样本均值与样本方差分别为

定理6．3．1 设总体X服从正态分布N（μ，σ2），则样本均值服从正态分布即

证 因为随机变量X1，X2，…，Xn相互独立，并且与总体X服从相同的正态分布N（μ，σ2），所以它们的线性组合也服从正态分布，又由例6．1．1知，＝，从而样本均值服从正态分布，定理得证．

定理6．3 ．2 设总体X服从正态分布N（μ，σ2），则统计量服从标准正态分布N（0，1），即

由定理6．3．1结论的标准化即得到定理6．3．2．

定理6．3．3 设总体X服从正态分布N（μ，σ2），则统计量服从自由度为n的χ2分布，即

证 注意到Xi～N（μ，σ2），则

又上述统计量相互独立，并按照χ2分布的定义可得结果．

定理6．3．4 设总体X服从正态分布N（μ，σ2），则

（1）样本均值X与样本方差S2相互独立；

（2）统计量服从自由度为n－1的χ2分布，即

（3）统计量服从自由度为n－1的t分布，即

证 略．

从总体X中抽取容量为n1的样本X1，X2，…，Xn1，从总体Y中抽取容量为n1的样本Y1，Y2，…，Yn2．假设所有的抽样都是相互独立的，由此得到的样本Xi（i＝1，2，…，n1）与Yj（j＝1，2，…，n2）都是相互独立的随机变量．我们把取自两个总体的样本均值分别记作

样本方差分别记作

定理6．3．5 设总体X服从正态分布N，总体Y服从正态分布N，则统计量

服从标准正态分布N（0，1），即

证 由于独立的正态统计量的线性组合服从正态分布，所以

标准化即得结论．

当σ1＝σ2＝σ时，我们有

推论 设总体X服从正态分布N（μ1，σ2），总体Y服从正态分布N（μ2，σ2），则统计量

定理6．3．6 设总体X服从正态分布N（μ1，σ2），总体Y服从正态分布N（μ2，σ2），则统计量

证 由定理6．3．5的推论知，统计量

又由定理6．3．4知

因为S21与S22相互独立，由χ2分布的可加性知

因为U和V相互独立，所以由t分布的定义得结论．

定理6．3．7 设总体X服从正态分布，总体Y服从正态分布则统计量

服从自由度为（n2，n2）的F分布，即

证 由定理6．3．3知

因为相互独立，结合F分布的定义得结论．

定理6．3．8 设总体X服从正态分布总体Y服从正态分布N则统计量服从自由度为（n2－1，n2－1）的F分布，即

证 由定理6．3．4知

因为与相互独立，所以独立，结合F分布的定义得结论．