误差和数据处理

一、 测量与误差

①所谓测量， 就是用计量仪器对被测物理量进行量度。

②测量值： 用测量仪器测定待测物理量所得的数值。

③真值： 任一物理量都有它的客观大小， 这个客观量称为真值。

最理想的测量就是能够测得真值， 但由于测量是利用仪器在一定条件下通过人来完成的， 受仪器的灵敏度和分辨能力的局限性、 环境的不稳定性和人的精神状态等因素的影响，真值是不可测得的。

④误差： 测量值和真值之间总会存在或多或少的偏差， 这种偏差就称为测量值的误差。设被测量的真值为a， 测量值为x， 则测量误差为Δx＝x－a。 所测得的一切数据都毫无例外地包含一定的误差， 因而误差存在于一切测量之中。

⑤测量的任务是： 设法使测量值中的误差减到最小； 求出在测量条件下被测量的最近真值； 估计最近真值的可靠程度。

二、 误差的分类

1. 系统误差

在同一条件下 （观察方法、 仪器、 环境、 观察者不变） 多次测量同一物理量时， 符号和绝对值保持不变的误差叫系统误差。 当条件发生变化时， 系统误差也按一定规律变化。 系统误差反映了多次测量时总体平均值偏离真值的程度。

例如， 用天平测量物体质量， 当天平不等臂时， 测出物体质量总是偏大或偏小； 再如，当手表走得很慢时， 测出每一天的时间总是小于24h。

系统误差产生的原因：

①仪器误差： 由测量仪器、 装置不精准而产生的误差。

②方法误差 （理论误差）： 由实验方法本身或理论不完善而导致的误差。

③环境误差： 由外界环境 （如光照、 温度、 湿度、 电磁场等） 影响而产生的误差。

④读数误差： 由观察者在测量过程中的不良习惯而产生的误差。

系统误差的消除：

系统误差主要是由于仪器不精准、 方法 （或理论） 不完善、 环境有影响而产生， 因此，在实验过程中要不断积累经验， 认真分析系统误差产生的原因， 采取适当的措施来消除。

例如，对不等臂天平，可以用交换被测物和砝码的位置，分别测出被测物质量m1和m2，则待测物的质量m＝

2. 偶然误差

在同一条件下， 多次测量同一物理量时， 测量值总是有稍许差异而变化不定， 这种绝对值和符号经常变化的误差称为偶然误差， 又称为随机误差。

偶然误差的规律性： ①绝对值相等的正的误差和负的误差出现的机会相同； ②绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多； ③超出一定范围的误差基本不出现。

偶然误差的消除：

在一定测量条件下， 增加测量次数可以减小测量结果的偶然误差， 使算术平均值趋于真值。 因此， 可以取算术平均值为直接测量的最近真值 （最佳值）。

3. 绝对误差

测量值x和被测量真值a之差与测量值有相同单位， 它反映了测量值偏离真值的大小。这种有单位的误差称为绝对误差。

在同一测量条件下， 绝对误差可以表示一个测量结果的可靠程度， 但比较不同测量结果时， 问题就出现了。 例如： 用米尺测量两个物体的长度时， 测量值分别是0.1m和1000m，它们的绝对误差分别是0.01m和1m， 虽然后者的绝对误差远大于前者， 但是前者的绝对误差占测量值的10％， 而后者的绝对误差仅占测量值的0.1％， 说明后一个测量值的可靠程度远大于前者， 故绝对误差不能正确比较不同测量值的可靠性。

4. 相对误差

测量值的绝对误差与测量值之比叫相对误差。 相对误差是一个比值， 没有单位， 通常用百分比表示。

三、 直接测量结果的误差估计

1. 单次测量的误差估计

由于有些物理量的测量精度要求不高， 或者这一物理量的误差对整体影响较小， 因而只测量一次即可满足测量要求， 此时测量误差的估计分两种情况： ①在给定仪器误差情况下，单次测量的误差取仪器误差； ②在没有给出仪器误差的情况下， 对连续读数的仪器， 取测量仪器最小分度值的一半作为单次测量的误差。 对非连续读数的仪器， 取测量仪器的最小分度值作为单次测量的误差。

对于其余一些特殊情况， 单次测量的仪器误差视具体情况而定， 例如秒表和天平。

2. 多次测量的误差估计

算术平均值x： 在相同测量条件下， 对同一物理量独立测量n次的测量值为x1， x2，…，xn，其算术平均值为

残差Δxi：测量值xi与平均值之差x称为残差。Δxi＝xi－x（i＝1，2，…，n）。

标准偏差δx：δx＝

需要注意的是， 测量值的标准偏差并不表示测量值的误差的实际大小， 因为测量值的偶然误差是随机的，所以测量值的标准偏差只表示任一测量值的误差落在区域（－δx， ＋δx）内的概率， 这就是标准偏差的统计意义。

多次测量的误差Δx： 在充分考虑多次测量的标准偏差和仪器误差的情况下， 多次测量的误差为Δx＝

算术平均值的标准偏差s：s＝

3. 可疑数字的剔除

一般测量的误差出现在±δx内的概率为68.3％，误差出现在±2δx内的概率为95.5％，而出现在±3δx区间内的概率为99.7％，而一般我们的测量次数又不是很多，故测量值误差超出±3δx区间的可能性极小。对误差超出±3δx的数据可以剔除，但要在原始数据记录表格中保留， 并用红色笔做删除标记。

4. 测量次数的确定

在基础实验中， 一般测量次数为4～10次。

5. 重复测量所得测量值相等时的误差估计

重复测量的测量值相等， 此时用前面所讲的计算标准偏差公式计算的结果为零， 这并不意味着测量中不存在偶然误差， 这是由于测量仪器精度较低， 不足以反映测量的偶然误差，在这种情况下， 计算标准偏差的方法为： 设仪器的最小分辨值为b， 测量的标准偏差为

四、 间接测量的误差传递

由直接测量量代入公式计算得到的结果称为间接测量。 由于直接测量存在误差， 因此，由计算得到的间接测量量也存在误差， 这就是误差传递。

1. 误差传递的基本公式

设x， y， z， …为独立的测量量， N为待测物理量， 其函数关系为

N＝f（x， y， z， …）

对上式进行全微分， 有

上式表示， 当测量值x、 y、 z有微小改变dx、 dy、 dz时， 间接测量量N改变d N， 通常误差远小于测量值， 把dx、 dy、 dz、 d N看作是误差， 上式就是误差传递公式。 当然， 上式表示的是绝对误差。

在某些情况下， 计算间接测量的相对误差较为简便， 其计算公式为：

以上两式就是误差传递的基本公式， 其中等于号 “＝” 后面的每一项称为绝对误差或相对误差的分误差项； dx、 dy、 dz前面的系数称为误差传递系数。 可以看出， 一个独立测量量的误差对总误差的影响， 不仅取决于本身误差的大小， 还取决于误差传递系数。

2. 偶然误差的传递和合成

在一般情况下， 直接测量的误差要求计算标准偏差， 而以上两式对标准偏差并不成立，根据误差理论， 在误差传递过程中， 标准偏差的合成方式有两种。

（1） 绝对误差

（2） 相对误差

常用函数的标准偏差传递公式见表1.6， 其中a、 b为常数。

表1.6 常用函数的标准偏差传递公式

五、 测量结果的表示

测量结果的误差： 无论是直接测量还是间接测量， 其结果的误差只有一位有效数字， 测量结果有效数字的最后一位与误差位对齐。

测量结果的表示： 测量结果包括测量值、 误差、 单位三部分。 表达式为：

X＝x±Δx （单位）

式中， x——在单次测量中是算术平均值， 在多次测量中是由函数关系计算出的间接测量值；

Δx——多次测量的误差。