推力的基本公式

火箭的运动是一种直接反作用运动， 推动火箭飞行的力是由喷出燃气所产生的反作用力， 当火箭在空气中飞行时还必须考虑空气的作用力。

火箭发动机不工作时， 发动机内、 外壁面受空气的静压作用而处于受力平衡状态， 因而不产生推力。 当发动机工作时， 内壁面的燃气压强远高于外壁面的空气静压， 而且由于燃气的流动， 内壁面的压强分布也不均匀。 若发动机静止不动， 则外壁面仍受均匀分布的外界空气静压的作用， 如图6-1所示 （图中箭头长短表示压强的大小）。 由于作用于发动机内、外壁面上的力不平衡， 因而产生净合力， 这就是发动机推力， 用F表示。

图6－1 发动机内、 外壁面上的压强分布

当火箭处于飞行状态时， 作用在发动机外壁面上的压强分布也是不均匀的， 并取决于火箭的飞行速度和外形结构， 在空气动力学中将这些空气作用力处理成各种阻力和升力， 而不在发动机推力公式中加以考虑， 即推力是火箭发动机在静止条件下工作时产生的力。因此， 火箭发动机推力定义为火箭发动机在静止条件下所受内、 外壁面压强的合力， 即

式中，→i为燃气施加给发动机内壁面的压强产生的力，→o为环境大气压强（与高度有关）作用于发动机而产生的力 （实际是阻力）。

在推导推力公式时， 为使问题简化， 作如下假设：

（1） 火箭发动机为轴对称体， 故只有轴向合力。

（2） 发动机中的燃气是理想气体， 在燃烧室中为一维定常绝热流动， 在喷管中为一维定常等熵流动。

在图6-1所示的发动机内外壁面压强分布中，外壁面大气压强pa的作用面包括1—1外壁面、2—t和t—e外壁面； 燃气压强的作用面为1—1内壁面、2—t和t—e内壁面； 由于假设发动机为轴对称体，1—2之间内壁面的燃气压强相互抵消， 外壁面的大气压强也相互抵消。在2—t和t—e内外壁面上的力，只有轴向分量，其中2—t的轴向作用面为（A2—At）， t—e的轴向作用面为（Ae—At）。

取火箭的运动方向为正方向， 如图中所示x方向， 分别推导式 （6-1） 中的外壁面合力Fo和内壁面合力Fi。由图6-1知，发动机外壁面是不封闭的，喷管出口截面e—e为其开口面，因此无论外壁面具有何种形状，作用在其上的大气压强pa的合力必与喷管出口截面e—e上的大气压强相平衡，所以在开口情况下发动机外壁面的大气压强合力应为paAe，并指向右方， 即外壁面大气压强产生的轴向推力 （实际为阻力） 为

Fo＝-paAe

内壁面合力Fi可以分为三部分，即燃烧室前底面上的压强合力F1、燃烧室侧面压强合力Fc和喷管侧面压强合力Fn，即

Fi＝F1＋Fc＋Fn

显然，F1＝p1A1。燃烧室侧面合力Fc则为

式中， ds为侧面上的微元面积， 如图6-1所示。 由燃气流动的动量方程式 （5-13）

pd A＝d［（p＋ρv2）A］

可得

Fc＝∫A2A1pd A＝∫21d［（p＋ρv2）A］＝（p2＋ρ2v22）A2－（p1＋ρ1v21）A1

由式（5-76）知v1＝0，且2—2截面为装药末端，ρ2v2A2＝ 为喷管中的燃气质量流率，在喷管各截面上保持为常数。 因此上式可写成

喷管侧面压强合力Fn为压强p在内壁面上的积分，即

上式的推导利用了分部积分方法。在喷管中燃气流动的动量方程为式（5-18），且 m＝Const， 所以有

综上所述， 内壁面的合力为

将内壁面力Fi和外壁面力Fo代入式（6-1），可得推力为

由推力公式可以看出：

（1）推力仅取决于喷管排气面上的参数（ 、pe、ve和Ae）和环境压强pa，而与燃气在发动机中的具体流动过程无关。 推力公式只要求发动机为轴对称体， 而与内外壁面的具体形状无关。

（2）推力由两部分组成，一是 ve，称为动量推力或动推力，是由高速喷出的燃气产生的反作用力，是推力的主要部分，一般占总推力的90％以上；二是（pe-pa）Ae，是由喷管出口截面燃气压强与环境反压的差产生的， 称为压强推力或静推力， 其数值取决于喷管排气面截面积Ae、排气面压强pe和大气压强pa。

推力公式也可采用气体动力学控制体法推导， 如图6-2所示。 取燃烧室和喷管的内壁面所包含的流体为控制体， 则由动量守恒定律知： “控制体内流体所受的合外力＝动量变化率”。 在x方向， 设控制体内燃气受发动机内壁面的作用力 （表面力） 为-R， 喷管出口截面压强作用力为peAe，动量变化率为- ve，则动量守恒方程为

根据牛顿第三定律， 控制体内燃气对发动机的反作用力为R。 此外， 发动机外壁面受大气压强pa的合作用力仍为Fo。于是，可得发动机所受合力即推力为F＝R-paAe＝m ve＋Aepe-pa( )。

图6－2 火箭控制体示意图