球对称介质中远震地震波的传播

对于一些大的地震，全球各处都能用仪器记录到这些地震波。通过对远震（台站的震中距超过1000km）记录的分析，可以确定震源的位置、了解地震的发震过程、研究地球的内部构造。

针对远震讨论地震波在地球介质内部传播，这时地球的曲率影响不可忽略。我们把地球近似地看作球形。认为地球内部呈层状构造，也就是把地球看成由无限多个厚度无限薄的均匀层构成。这种简化的地球模型表明地球具有球对称性，球内各种参数（如波速、密度等）只是球半径r的函数，地球是一种径向非均匀介质。

3.2.1 射线方程

地震波射线在各薄层中为直线，在各层的界面上发生折射（图3-7）。由斯奈尔定律：

在ΔB1OA和ΔB2OA中，有

图3-7 球对称介质中的地震波射线

B0B1B2是一条射线的任一段，对整条射线的任何点都适合。若地层有n层，则对于一条射线有

上式称为球对称介质中的折射定律，又称射线方程，P为射线参数。方程表明射线为一平面曲线，射线一般可用平面极坐标（r，θ）来描述，如图3-8所示。图上EMS为一条地震射线，E为震源，S为地震观测台。射线上任一点M用极坐标（r，θ）表示。r为自球心O到点M的径向坐标，θ=∠EOM是从EO算起的角坐标。

图3-8 球面射线坐标

图3-9 球面层的本多夫定律

3.2.2 走时方程——本多夫（Benndorf）定律

如图3-9所示，对于震源E发出的射线束中，任选两条相近射线EA和EB，它们出射到地面的距离相差dΔ=Rdθ，两条射线的长度相差dl=CB，波沿CB传播需时间dt，则

v0是地震波传播到地表的真速度值，入射角为i0。

在ΔABC中，有

dl=CB=Rdθsini0（3-7）

即

上面两式统称为本多夫定律，表示相邻射线之间的关系。dΔ/dt=v0表示地震波的视速度。所以本多夫定律的第一式表示地震波的真速度和视速度的关系，第二式表示射线参数P与波的走时曲线的关系，由走时曲线的斜率可求出参数P。对于射线的最低点M，i=π/2，速度为v（rp），rp为M点的径向坐标（图3-10），则有

图3-10 求射线走时方程图示

联立上述各式，可得

这也是射线方程的另一表示式。对于不同的射线，P值是不同的，不同的参数P（或rp）给出一射线族。

由图3-10，射线上相邻两点A，B，令AB=d S，则

d S2=dr2+r2dθ2（3-12）

式中，θ为地心角；r为射线各点到地心的半径。

在ΔABC中，有

可得

将sini=v P/r代入上式得地震射线的微分方程：

式中，正负号对应射线顶点最低点两侧不同段，当r=rp，θ（rp）=0。对EM段取负号，MS段取正号，对上式积分：

地震波由A传到B所需时间为

利用射线的对称性，可写出球对称介质中的走时方程：

以震中距θ为横轴，走时t为纵轴画出的曲线称为走时曲线。由走时曲线的形状变化能推断出地震射线的变化，从而推断地球内部地震波传播速度的变化及地球内部结构。

3.2.3 地球内部不同速度分布的影响

在连续的球对称介质中，只要射线能出射，其走时曲线均凹向θ轴（图3-11），它的二次微商

对于能出射到地面的射线，其顶点半径rp都随θ的增大而逐渐减小，即＜0，为保证＜0，必须

图3-11 走时曲线

这是走时曲线存在的条件，也是射线存在顶点能出射到地面的条件。

为速度变化率，可看出愈大，射线愈弯曲。同时，在连续的球对称介质中，地震射线是对称于顶点的曲线，只要它能出射到地面，就只有一个顶点（最低点或最高点）。在顶点处，i=π/2

1.低速层和低速界面

如图3-12（a）所示，在地球内部r1至r2的范围内，速度随深度增加而减小，而在此范围之外速度则随深度增加而增加。那么，r1至r2的层称为低速层。

图3-12 低速层的射线和走时曲线

在低速层中，射线不满足不等式dv/dr＜v/r，经过低速层的射线不会向上弯曲，而是弯向地心。但透过低速层的射线，由于在r＜r2的地层中速度又随深度而增加，所以射线又能向上弯曲而最终出射到地面。射线在地表BD区不出现，此区称为影区（图3-12（a）），相应的走时曲线出现间断（图3-12（b））。当r1=r2，并在此处速度值不连续，dv/dr→∞，此界面称为低速间断面。射线通过低速界面时，界面上除出现直达波B外，还有反射波及折射波（图3-13（a））。折射波由于折射角的不同而出现射线会聚现象，在B，D处仍无射线出射，相应的走时曲线除出现E间断外，还分为4支，分别对应于直达波、反射波和折射波（图3-13（b））。

图3-13 低速界面的射线和走时曲线

2.高速层和高速界面

若在地球内部r1至r2的范围内，速度随深度的增加比这个范围上下介质中的速度随深度的增加都快，即dv/dr的值相对较大，此层称为高速层。

通过高速层的射线弯曲得厉害，在地球内部出现射线交叉现象，穿透较深的射线反而在近距离处出射（图3-14（a）），相应的走时曲线发生回折（圈环）（图3-14（b））。

当r1=r2，并且此处速度值不连续，dv/dr→-∞，此界面称为高速界面。折射波在一定距离之后超前直达波而先到，相应的走时曲线出现与纵轴相交的回折形状（图3-15）。

图3-14 高速层的射线和走时曲线

图3-15 高速界面的射线和走时曲线

3.2.4 确定地球内部地震波传播速度的公式

由已知的走时曲线来确定速度分布的方法有古登堡法和赫格罗茨 维歇尔特法。

1.古登堡方法（拐点法）

已知震源深度为h及相应的走时曲线（图3-16），求rh=R-h处的速度值vh。

在连续的球对称介质中，震源深度h≠0时的走时曲线是具有拐点的走时曲线，其拐点相应的射线是与以震源O为顶点的水平方向射出的射线S′OS相对应。在这条射线的O，S两点处，运用射线方程

图3-16 拐点法求速度

式中，ih是震源处的射线与法线的夹角；iom是射线出射到地表的入射角；vh是震源处的地震波速；v0是地表面处的真速度。从震源O向不同方向发出射线，ih值不同（图3-16（a）），只有震源发出水平射线，h=π/2时，达到极大值，即P达极大值。因此有h=0，也就=0。在走时曲线上， =0的点即为拐点M（图3-16（b））。

由于ih=π/2，故有

根据本多夫定律，siniom=v0/v～om，则有

式中，v～om为地表面S处所测得的视速度。

它也是走时曲线拐点的斜率的倒数。由此可求得

只要求得某地震的震源深度h和在其相应的走时曲线上找到拐点M，并确定该点的斜率，则由上式可求得震源处的速度。此法原理简单，使用方便。但此法要求较精确的走时曲线，特别是在拐点处，且对于间断面不适用。该法只能求出0～700km处的波速，因为再深处不发生地震。

图3-17 HWB法求地球内部速度原理图

2.赫格洛兹维歇尔特彼特曼（Herglotz Wiechert Bateman）法

已知波的走时关系t=t（θ），即走时曲线上每点的斜率dt/dθ=P（θ）已知。射线方程rp/v（rp）=P（θ），其中rp为参数P的射线最低点至地心的距离。若能求得rp，就能求得rp处的速度v（rp）。对于连续的球对称介质，用此法可求出地球内部任意深度的v（r）。

由式：

可导出赫格罗茨维歇尔特求rp的公式为（rp记作r1）：

式中符号见图3-17。

最后可写出速度公式：

具体计算采用数值积分的方法，求得r1后，运用射线方程即可求得与r1对应的v（r1）。再依次取θ2，θ3，…，θn，求得r2，r3，…，rn及其对应的v（r2），v（r3），…，v（rn），最后求出地球内部不同深度处的速度值。

假定已采集了初至波（地幔折射波）的走时曲线。根据赫格洛兹 维歇尔特 彼特曼（Herglotz Wiechert Bateman）公式，可按如下步骤计算速度分布：

（1）对走时观测值曲线做平滑处理，得到一条单值tx曲线（图3-18（a））。t，x的单位分别为秒和弧度。

（2）从走时曲线求出视慢度曲线Px，这里P=dt/dx，是走时曲线各点的切线，它在数值上等于该条射线的射线参数（图3-18（b））。

（3）若取x1点（对应视慢度P1），为了求对应半径r1，需要由Px曲线制作出P/P1x曲线（图3-18（c））。

（4）由P/P1x曲线制作q1x曲线。q1定义为

这里的arcch（P/P1）为反双曲余弦函数（图3-18（d））。我们所关心的是从x=0到x=x1区间曲线下面的面积Q1，即

（5）最后，由所得Q1值计算与P1相应的半径r1和速度v1。计算r1的公式为

这里r0是地球半径。因为在球对称介质中，p=rsini/v，在射线最低点（i=π/2），p=r/v，故有该点的速度公式：

v1=p-1r1（3-35）

从而有一对r1和v1数值，再将r换算成深度h1，则h1=r0-r1（r0为地球半径）。

（6）再取x=X2，X3，…，重复步骤（3）至（5），从而得到一系列的（r2，v2）， （r3，v3），…，这些数值构成速度分布v（r），如图3-18（e）所示。

图3-18 由走时曲线计算速度分布的示意图

上述过程通常由计算机的运算来完成。赫格洛兹 维歇尔特 彼特曼（HWB）方法要求地下介质速度v随深度连续变化，dv/dr≤v/r，即无明显低速层，因而走时曲线不能出现间断。在有间断面情况下，可采取剥去间断面以上介质的方法。

3.2.5 计算实例

宋仲和等根据北京台网及若干基准台记录到的发生在北京至阿留申群岛西端的300多个地震资料，用上面介绍的HWB公式给出深度达1200km的速度分布v-h，以此作为初始模型，计算理论走时曲线，并与实际观测资料进行对比，从而得到这个剖面上的地幔纵向速度结构。在实际工作中，需要将深度不同的震源和高程不同的台站校正到地壳底面（莫氏面）上来，对于大陆和大洋分别取地壳厚度H为35km和12km，那么相应的走时和震中距要做如下校正：

式中，h为震源深度。当h＜H时，vp选取地壳的速度；当h＞H时，即选取地幔顶部速度；取自JB走时表。

为了计算地幔中地震波走时，根据初始模型将地幔分成若干同心层，在每一层内根据情况分别选为线性模型和指数模型（v=mr+b或v=Ar B，r为半径，m，b，A，B为待定系数），然后代入走时和震中距的标准公式或者它们的简化公式。图3-19（a）是这个剖面的走时曲线，其中“点”表示经剥壳处理后由观测数据经光滑得到的一些插值点，“实线”表示由模型所得到的理论走时曲线。

图3-19 北京—萨哈林剖面的走时曲线和地幔纵波速度分布（熊小松，2010）