【摘要】：在第十四章中我们曾间接提到过线性高斯分布族的一个关键性质：在标准贝叶斯网络操作下这个分布族保持封闭。所以，如果我们从高斯先验概率 f1: 0= P = N出发，通过一个线性高斯模型进行滤波，在任何时间片都会产生一个高斯状态分布。
15.4.1 更新高斯分布
在第十四章中我们曾间接提到过线性高斯分布族的一个关键性质：在标准贝叶斯网络操作下这个分布族保持封闭。这里，我们在时序概率模型上的滤波上下文中使这个断言更精确。所需的性质与公式（15.3）中的两步滤波计算相对应：
（1）如果当前分布P(Xt|e1: t)是高斯分布，并且转移模型P(Xt+1|xt)是线性高斯的，那么由下式
给出的单步预测分布也是高斯分布。
（2）如果预测分布P(Xt+1|e1: t)是高斯分布，传感器模型P(et+1|Xt+1)是线性高斯的，那么在对给定新证据进行条件化之后，更新后的分布
也是高斯分布。
因此，卡尔曼滤波的 FORWARD算子选取一个高斯前向消息，该消息由均值 μt和协方差矩阵 Σt所确定；并产生一个新的多元高斯前向消息f1:t+1，该消息由均值 μt+1和协方差矩阵 Σt+1所确定。所以，如果我们从高斯先验概率 f1: 0= P(X0) = N(μ0, Σ0)出发，通过一个线性高斯模型进行滤波，在任何时间片都会产生一个高斯状态分布。
这似乎的确是一个漂亮而且优雅的结论，但是这一点为什么如此重要？原因在于，除了很少一些像这样的特殊情况，连续或者混合（离散与连续）网络的滤波过程会生成表示规模随时间增长而趋于无界的状态分布。这个结论的一般性证明不太容易，不过习题15.5用一个简单例子说明了会发生什么。
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