相对论动量能量变换

下面，我们回到考察洛伦兹变换与空间坐标旋转的类比这个问题中去。我们已经学过这样一个方法，将与坐标具有相同变换性质的其他若干个量组合起来，构成所谓的矢量，即有向线段。就普通的旋转而言，有许多量的变换方式与x,y和z在旋转下的变换方式一样。比如说，速度有3个分量，即x分量、y分量和z分量；如果在一个不同的坐标系中观察，没有任何一个分量会保持相同，相反，它们全都变换成新的数值。可是，不管怎样，速度“本身”要比它的任何个别的分量具有更大的真实性，我们用一条有向线段表示它。

因此，我们要问：存在这样一些量，它们在一个运动的坐标系和一个不运动的坐标系之间的变换方式，或者说它们之间的相互联系与x,y,z和i之间的联系相同，这个说法对还是不对呢？我们从有关矢量的经验中得知，其中的3个量就像x,y,z一样，将构成一个普通的空间矢量的3个分量，而第4个量在空间旋转下看起来就像一个普通的标量，因为，只要我们不跑到一个运动的坐标系中去，它就不会改变。那么，用某种方式把我们称之为“时间分量”的第4个量与某些已知的“三维矢量”联系起来，使得这4个量一起按照空时中位置和时间的变换方式“旋转”，这是否有可能呢？下面我们将证明，确实存在至少一个这样的量（事实上存在许多这样的量）：动量的3个分量和作为时间分量的能量一起变换就构成一个所谓的“四维矢量”。在对此所做的证明中，由于不得不到处写上c这个量而相当不方便，所以，我们将采用在方程组（5.4）中用过的同样的技巧来处理能量、质量和动量的单位。例如，能量和质量仅仅相差一个因子c2，这只不过是一个计量单位的问题，因此，我们可以认为，能量就是质量。我们令E=m而不一定非要写上c2，当然，如果遇到什么麻烦的话，我们就会适当地插入若干个c，使计量单位在最终的方程中被改正过来，但是，中间的推导过程就不这样做了。

于是，关于能量和动量的方程就是

同样，在这些单位下有

例如，如果我们用电子伏特来计量能量，那么，1电子伏特的质量是什么意思呢？它表示静能等于1电子伏特所对应的质量，即m0c2等于1电子伏特。比如说，一个电子的静质量等于0.511×106eV。

那么，在一个新的坐标系中，动量与能量像个什么样子呢？为了找出问题的答案，必须对公式（5.6）做变换，这是可以做得到的，因为我们知道速度如何变换。假定当我们对一个物体进行测量时，它具有速度v，不过，我们要从一艘本身正以速度u运动的宇宙飞船上观测这同一个物体，在该坐标系中，我们用撇号来标明相应的量。在开始时，为了把问题简化，我们将考虑速度v沿着u的方向这种情形。（稍后，我们可以考虑更一般的情形。）从宇宙飞船上看，速度v'等于多少呢？这是一个合速度，即v与u之“差”。根据我们在前面导出的规则，

下面，我们来计算新的能量E'，即宇宙飞船上的那个家伙应该测出的能量。他当然应该使用同一个静质量值，不过就要用v'做速度。我们必须要做的事情就是，求v'的平方，用1去减它，再开平方根，并求倒数：

由此可得到

于是，能量E'就等于m0乘上述表达式。不过，我们想用不带撇号的能量和动量表示这个能量值，我们注意到

也就是

我们看到，这个公式与下面的公式形式上完全一样

接着，我们必须找出新的动量p'x。这正好就是能量E'和v'的乘积，也可以用E和p简单地表示：

这样就得到

我们看到，这个公式与下面的公式形式上完全一样

这样，用原来的能量和动量表示新的能量和动量的变换规则，以及用i和x表示i'，用x和i表示x'的变换规则，两者完全一样：我们所要做的事情就是，每当在（5.4）式中看到i时，就用E代入，而每当看到x时，就用px代入，这样，方程组（5.4）就会变成与方程（5.10）和（5.11）相同的方程。如果一切都正确的话，这就暗含着一条附加的规则p'y=py和p'z=pz。要证明这一点，就需要我们回过头去研究上下运动的情形。实际上，我们在上一章中已经研究过上下运动的情形。我们分析过一个复杂的碰撞过程，并且注意到，从运动着的坐标系中看，横向动量实际上并不改变；这样，我们就已经证明了p'y=py和p'z=pz。于是，完整的变换规则就是

因此，我们在这个变换中找到了四个量，它们的变换方式与x,y，z和i的一样，我们把这四个量叫做四维动量矢量。由于动量是一个四维矢量，因此，在一个运动粒子的空时图中，可以把它表示成一条与轨迹相切的“有向线段”，如图5-4所示。这条有向线段有一个等于能量的时间分量，而它的空间分量则表示它的三维动量矢量；这条有向线段比能量和动量都更“真实”，因为能量和动量完全依赖于我们观察这个图的方式。

图5-4　一个粒子的四维动量矢量