奇怪的函数（二）

在高中时代，我就已经有收集“另类函数”的爱好了。学习周期函数时，老师告诉我们，常函数（比如 f（x）＝1）也是周期函数，只不过它们比较特殊——没有最小正周期。当时我就在想，除了常函数以外，还有没有其他的没有最小正周期的周期函数呢？某次看书时，我意外地发现，竟然真的有这样的函数。考虑这么一个函数 f（x）：当x是有理数时，函数值为 1；当x是无理数时，函数值为 0。由于对于任意一个有理数q，都满足有理数加上q还是有理数，无理数加上q还是无理数，因此一切有理数q都是这个函数的一个周期。由于不存在最小的正有理数，因而这个函数也就没有最小正周期。

后来我才知道，这个函数叫做狄利克雷（Dirichlet）函数，它是数学分析中非常经典的异形函数。它拥有大量违背直觉的性质，给很多看似成立的数学命题提供了反例。例如，狄利克雷函数竟是一个处处不连续的函数！对狄利克雷函数稍作修改，我们还可以构造出乍看上去更加不可思议的函数。例如，定义这样一个函数 f（x）：当x是有理数时，函数值就取x本身；当x是无理数时，函数值为 0。利用函数连续性的定义不难证明，这个函数只在x＝0处连续，在其他所有点处都不连续。也就是说，它是一个只在一点连续的函数。1875年，德国数学家卡尔·托马克（Karl Thomae）构造了一个更加怪异的函数：当x是有理数时，假设x的最简分数表达为 n/m，则令函数值为 1/m；当x是无理数时，令函数值为0。这个函数的样子大概如图1所示，它有一个形象的别名——爆米花函数（popcorn function）[11]。爆米花函数拥有一个非常惊人的性质：它在所有有理点均不连续，在所有无理点均连续。这个例子告诉我们，在研究函数的连续性时，我们会遇到很多复杂的情形，千万不能凭直觉想当然地得出结论。更详细的描述可以在很多数学分析课本中找到。

图1

之后，我便开始收集满足各种奇异性质的函数：处处连续但处处不可导的函数，处处连续但只在一点可导的函数，连续单调递增但导数几乎处处为0的函数，连续单调递增并趋于某个上界但导数并不趋于0的函数，等等。但是，它们大多是有针对性的、精心构造的函数。我一直没能见到像狄利克雷函数那样简单而又霸气的构造。直到某日，我见识了数学家约翰·康威提出的康威十三进制函数。它是一个从全体实数集映射到全体实数集的函数，其中每个实数都被映射了无穷多次！

康威十三进制函数远不止这点本事。比方说，这个函数虽然处处不连续，但在任意区间［a，b］里，函数值都将取遍 f（a）和 f（b）之间的所有数。再比方说，这个函数虽然处处有限，但在任意小的区间［a，b］里，函数都是无界的。事实上，上面所有这些违反直觉的性质都来源于一个更强的、更不可思议的性质：在任意小的给定区间［a，b］里，函数的值域都是整个实数域！这个函数的图像将会布满整个平面直角坐标系，在平面上任意选择一个任意小的区域，我们都能在里面找到该函数的一个点！

康威十三进制函数 f（x）是这样定义的。首先，把x转换为一个十三进制的无限小数（如果是有限小数，可以把它看做一个后面跟有无穷多个数字 0 的无限小数），然后取出它的小数部分。这个小数部分应该是一个由1、2、3、4、5、6、7、8、9、0、A、B、C十三种符号组成的无限长的符号串，其中 A、B、C三种符号是“非十进制符号”。如果这个符号串中非十进制符号的个数有限，并且最后一个非十进制符号是C、倒数第二个非十进制符号是A或者B，那么就去掉在这个A或者B以前的所有符号，然后把剩下的符号串视为一个十进制小数（把A当成正号，把B当成负号，把C当成小数点），作为 f（x）的函数值。其他情况下，f（x）一律为0。

比方说，某个x是十三进制下的混循环小数12A.AB3 C71 B67 C61 808 080…。由于它的小数部分有一个形如“符号A或者 B加上一串十进制符号再加上一个C再加上一串无限长的十进制符号”的“后缀”（即B67 C61 808 080…），那么我们把它提取出来，按规则把它理解成一个十进制小数，得到-67.61808080…。它就是 f（x）的值。

显然，对于任意一个给定的y以及任意小的一个区间［a，b］，我们都能构造一个位于区间［a，b］内的实数x，使得它的十三进制小数展开中，从足够靠后的某个地方起，正好就是实数y的小数展开。这就证明了，在任意小的一段区间里，康威十三进制函数的值域都是全体实数。这个函数的图像遍布整个平面，形成一个在整个平面内稠密的点集。

在实分析中，大家会见到各种奇怪的函数，其中狄利克雷函数和康威十三进制函数恐怕是构造最简单、效果最拔群的函数了。不过，这趟“奇异函数”之旅并未结束。在下一节中，你将会看到一个更惊人的东西。