万能的连杆系统

在机器时代，作为机械构造的理论工具，连杆系统曾一度成为数学界中最热门的话题。所谓连杆系统，就是一些刚性的小杆在端点处以转轴的方式相连，形成的一个机械装置。固定某些顶点的位置之后，其余的动点就能画出一些有趣的轨迹。例如图1中的左图，固定杆AB的其中一个端点A，则端点B将描绘出一个绕A点的圆周。

图1

连杆系统最激动人心的，莫过于一些简单的连杆装置能够描绘出非常复杂的曲线。例如，图1的右图就是由五根相同长度的杆构成的连杆系统。固定A、B两个端点后，显然C和D描绘出的都是圆弧，但E点的轨迹就难以想象了。事实上，E点的轨迹相当诡异，需要用一些复杂的代数语言才能描述（见图2）。

图2

在连杆系统领域中，有一个困扰人类近百年的难题——利用连杆系统是否能画出直线来？当时看来，这个问题是如此地困难，人们甚至试图去证明，能画出直线的连杆系统压根儿是不存在的。1864年，一位法国海军军官查尔斯—尼古拉斯·波赛利（Charles-Nicolas Peaucellier）发明了第一个能画出直线的连杆系统，在当时引起了极大的轰动。波赛利连杆系统的原理并不难理解，利用初中几何知识足以证明其正确性。

波赛利连杆是由 7根杆组成的，如图 3，其中AC＝AD＝a，BC＝CE＝ED＝DB ＝b，OB为任意长。固定A点和O点的位置，使得OA的距离恰好等于OB，则E点将会描绘出一条垂直于AO的直线来。

图3

容易看出，A、B、E三点在同一条直线上。我们首先说明，AB·AE是一个常数。过点C作CH⊥AE，垂足为H。于是

结果是一个常数。

为什么AB·AE为常数，就能保证E点的轨迹是一条直线呢？如图4，过A点作出圆 O 的直径 AM，在射线 AM 上找出一点 N 使得 AM·AN 也等于这个常数。由于AM·AN=AB·AE，或者说，我们立即可知△ABM 相似于△ANE，因此∠ANE=∠ABM=90°，也就是说EN与AN始终垂直。这就证明了，E点的轨迹确实是一条与AO垂直的直线。

图4

解决了连杆画直线的问题后，数学家们显然还不满足。很多迹象都表明，连杆系统比我们想象中的更强大，画出一些更奇怪的图形似乎不成问题。

有一个非常简单的构造几乎是瞬间增强了连杆系统的功能，让人们更加相信构造复杂连杆系统的可能性。虽然连杆系统要求杆与杆必须在端点处连接，但我们可以利用三角形的稳定性，把某根杆的一端直接接到另一根杆的中间。如图 5，虽然AB和BC是两根各自能绕着B转的杆，但简单地用三角形固定一下，AB和BC将会变成一根杆 AC。利用这一基本构造，我们就能把杆的端点直接连在另一根杆的中间了。

图5

这一基本构造极大地激励了我们——我们何不像研究尺规作图一样，借助最基本的构造，构造出更实用的基本构造，逐渐搭建起连杆作图的大厦呢？1877年，英国数学家艾尔弗雷德·肯普（Alfred Kempe）顺着这个思路研究下去，最后得出了一个惊人的结论：连杆系统不仅能画出直线和圆，还能画出双曲线、抛物线、椭圆，甚至半立方抛物线、双纽线等复杂的曲线。事实上，任何代数曲线都是可以用连杆系统画出的！

这个证明的基本思路是这样的。如图6，首先，以O为端点构造两个菱形。利用两个波赛利连杆系统，我们可以让x点和y点始终沿着两条垂直的直线运动。固定O点后，我们就建立起了一个平面直角坐标系。接下来，我们需要把y 点绕着原点顺时针旋转 90度。假设菱形OCyD的边长为l，则构造连杆OCOC＇＝C＇y＇＝ y＇D＇＝D＇O＝l，，这样我们就把Oy的长度转移到了x轴上。接下来，我们将用一系列连杆构造出一个点T，使得T始终在坐标系中的（f（x，y），0）的位置上。然后我们将构造出一个点S，使得S始终在坐标系中的（x，y）位置上。最后，我们把T点的位置固定在（0，0），则S点就将描绘出 f（x，y）＝0的图像来。

图6

为了得到T（f（x，y），0），我们只需要实现对x轴上的点的以下四种操作：

（1）把某个点的坐标加上一个常数c；

（2）把某个点的坐标乘上一个常数c；

（3）把两个点的坐标相加；

（4）把两个点的坐标相乘。

前两个操作并不困难。如图7，对于x轴上的某个点p，为了得到点z＝ p﹢c，只需要固定两个距离为c的点 A、B，并构造一系列平行四边形即可。为了得到点z＝c·p，我们只需要构造一组相似三角形OAp和OBz，使得OB＝c·OA，Bz＝c·Ap。添加一个杆pC使得四边形ABCp为平行四边形，以保证这两个三角形是相似的。注意，在乘法器的构造中，我们用到了前面所说的基本构造，即杆的中间直接连接另一根杆。

图7

把两个变量相加也比想象中的容易。事实上，我们不但能在x轴上对两个动点做加法，还能直接实现一个更强的基本操作——对平面上的两个向量进行相加。如图8，只需要构造一系列的平行四边形，容易看出四边形Opzq也是一个平行四边形，向量Oz即是向量Op和Oq之和。

图8

但是，对 x 轴上的两个变量进行相乘就有些麻烦了。注意到，由于，因此只要能实现平方操作，我们也就有了实现乘法的方法。而由于，因此只要能实现倒数操作，我们也就有了实现平方的方法。在证明波赛利连杆系统的正确性时，我们已经证明了，在图 9 的连杆系统中有z·p＝a²-b²，利用它我们便能实现。取a、b为适当的值，我们就能得到p的倒数了。

图9

由于x和 y＇都已经在x轴上了，利用上面的这些基本操作，我们便能得到T（f（x，y），0）。另外，利用向量加法器，我们可以得到Ox和Oy的向量和S＝（x，y）。将T点的位置固定在原点O处，S的轨迹就是 f（x，y）＝0的图像了。

肯普的结论最令人惊讶的地方莫过于，由于各种曲线都能用代数曲线近似地描述，因此连杆系统几乎是万能的了。因此，如果足够有耐心，你甚至能构造一个连杆系统，让它签出你的大名来！