奇妙的心电图数列

发现数学结论的过程，无疑比数学结论本身更美妙。当你见到一个全新的几何构造，一个全新的运算法则，或者一个全新的函数定义时，不妨深入研究下去，几乎总会有惊喜发生。在这一节中，我们将从一个简单的数列出发，挖掘出越来越多的定理和猜想，体验数学发现的乐趣。

心电图数列（EKG Sequence）的定义简单而有趣：第一项为1，第二项为2，以后的每一项都是最小的和前一项不互质并且不曾出现过的数。换句话说，数列a（1）＝1，a（2）＝2，且当n＞2时取a（n）为所有满足以下两个条件的数中最小的那一个：该数与a（n-1）有大于1的公因数，并且该数与前面n-1项都不相等。心电图数列的前面20项为

1，2，4，6，3，9，12，8，10，5，15，18，14，7，21，24，16，20，22，11，…

为什么把它叫做心电图数列呢？原因很简单——因为把它描绘在图像上时，看上去像一张心电图（见图1）。

图1

心电图数列有很多有趣的性质。例如，考虑某个质数p，假设数列中第一个含有质因数p的数是t·p。根据定义，t·p和它的前一项有一个公因数。显然这个公因数不可能是p，因为t·p才是质因数p在数列中首次出现的地方；因而，这个公因数只能是t 或者t的因数。由于t·p满足最小性，因此我们可以进一步得出，t 是t·p前一项的最小质因数。我们还可以推算出t·p的后一项。t·p的后一项要么就是p，要么就是某个比p小的t 的倍数。但后者是不可能的，如果存在某个t 的倍数比p小而之前又没出现过，那t·p这一项本身就不会是t·p了，而将由这个t 的倍数取代。因此，t·p的后一项一定是p。我们还可以看出，只要t≠2，这个p的后一项就一定是2p；而当t＝2时，p的后一项就只能是3p了。也就是说，如果数列中出现了一个质数p，那么2p不是它的前一项就一定是它的后一项。

有意思的是，除了p＝2以外，目前我们还没有找到2p出现在p后面的情况。换句话说，人们发现，对于数列中的每个奇质数p，它的前一项无一例外地都是2p，并且后一项总是跟着3p。证明或推翻这个猜想并不容易，直到最近几年才出现有关它的证明。很大程度上来说，这是整个数列呈心电图模样的最关键原因。

心电图数列有一个很漂亮的数学事实：所有的自然数都出现在了这个数列中。由这个数列的定义，每个数最多也只能出现一次。因此，心电图数列是全体自然数的一个排列。这个结论的证明堪称经典。首先我们证明引理 1：如果数列中有无穷多项都是某个质数p的倍数，那么p的任意一个倍数都出现在了数列中。证明的基本思路是反证。无妨假定k·p是最小的不在数列中的p的倍数，那么我们总能找到一个充分大的N，使得从第N项开始所有数都不小于k·p。然而数列中有无穷多项都是p的倍数，因此在第N 项后面一定能找到一个p的倍数，这个数的下一项就只可能是k·p了，矛盾。

我们可以故技重施，继续证明引理2：如果某个质数p的任意一个倍数都出现在了数列中，那么所有正整数都出现在了数列中。反证，假设k是最小的不在数列中的数，我们总能找到一个充分大的N，使得从第N 项起后面的所有数都不小于k。由于质数p的任一倍数都在数列里，因此k·p的任一倍数都在数列里，即数列中有无穷多项都是k的倍数。那么，第N项之后一定存在一个k的倍数，它的下一项就只可能是k了，矛盾。

接下来就是最妙的地方了。我们可以利用上面两个引理立即得知，所有正整数都出现在了数列中。假设数列中所有项的所有质因数只有有限多种，由于整个数列有无穷多个数，因此至少有一种质因数出现了无穷多次，由引理1可知这个质因数的所有倍数都在数列里，由引理2知所有正整数都出现在了数列中，与“质因数只有有限多种”的假设矛盾。因此，数列中包含有无穷多种质因数。而前面说过，数列中第一个含有质因数p的项，其下一项一定是质数p。因此，数列中出现了无穷多个质数。而质数p的前一项或者后一项必有一个是2p，因此质因数2出现了无数多次。由引理1可知2的所有倍数都在数列里。由引理2可知所有正整数都在数列中了。

心电图数列还有很多优美的性质和尚未解决的猜想。如图2所示，把前面500多个数描绘在图像上，容易看出整个图像大致成三条斜线，其中两条稀疏的线明显是由形如p和3p的数组成。于是有人猜想，如果把所有p和3p都变成2p，整个数列在渐近意义上与 f（n）＝n等价。

图2

由此我们又想到一个问题，既然a（n）与n相差不远，那么它们之间的大小关系究竟如何？作出a（n）-n的图像（见图3），我们立即得出一个新的猜想：排除a（n）为质数的情况，则几乎所有a（n）都大于n。

图3

根据已有资料，在这两个问题中，前一个问题好像已经得到了证明，后一个问题则是最近才提出的猜想，还有待人们继续探索。