让你立刻爱上数学的个算术游戏

文科背景的朋友们经常会问我一个问题：数学到底哪里有趣了，数学之美又在哪里？此时，我通常会讲一些简单而又深刻的算术游戏，让每个只会算术的人都能或多或少地体会到一些数学的美妙。如果你从小就被数学考试折磨，对数学一点好感都没有，那么我相信这一节内容会改变你的态度。

数字黑洞

任意选一个四位数（数字不能全相同），把所有数字从大到小排列，再把所有数字从小到大排列，用前者减去后者得到一个新的数。重复对新得到的数进行上述操作，7步以内必然会得到6174。例如，选择四位数8080：

8800-0088＝8712

8721-1278＝7443

7443-3447＝3996

9963-3699＝6264

6642-2466＝4176

7641-1467＝6174

7641-1467＝6174

……

6174这个“黑洞”就叫做卡布列克（Kaprekar）常数。对于三位数，也有一个数字黑洞，即495。

特殊乘法的速算

如果两个两位数的十位数相同，个位数相加为10，那么你可以立即说出这两个数的乘积。如果把这两个数分别写作和，那么它们的乘积的前两位就是A和A﹢1的乘积，后两位就是B和C的乘积。

比如，47 和 43 的十位数相同，个位数之和为 10，因而它们乘积的前两位就是4×（4﹢1）＝20，后两位就是7×3＝21。也就是说，47×43＝2021。

类似地，61×69＝4209，86×84＝7224，35×35＝1225，等等。

这个速算方法背后的原因是，（10x﹢y）（10x﹢（10-y））＝100x（x﹢1）﹢y（10-y）对任意x和y都成立。

翻倍，再翻倍！

将123 456 789翻倍，你会发现结果仍然是这9个数字的一个排列：

123456789×2＝246913578

我们再次将246913578翻倍，发现：

246913578×2＝493827156

结果依旧使用了每个数字各一次。这仅仅是一个巧合吗？我们继续翻倍：

493 827 156×2=987 654 312

神奇啊，一个很有特点的数987 654 312，显然每个数字又只用了一次。

你或许会想，这下到头了吧，再翻倍就成10位数了。不过，请看：

987654312×2＝1975308624

又使用了每个数字各一次，只不过这一次加上了数字0。再来？

1975308624×2＝3950617248

恐怖了，又是每个数字各出现一次。

出现了这么多巧合之后我们开始怀疑，这并不是什么巧合，一定有什么简单的方法可以解释这种现象的。

但是，下面的事实让这个问题更加复杂了。到了第6次后，虽然仍然是10位数，但偏偏就在这时发生了意外：

3950617248×2＝7901234496

看来，寻找一个合理的解释，并不是一件轻而易举的事情。

唯一的解

经典数字谜题：用1到9组成一个九位数，使得这个数的第一位能被1整除，前两位组成的两位数能被2整除，前三位组成的三位数能被3整除，以此类推，一直到整个九位数能被9整除。

没错，真的有这样猛的数：381 654 729。其中3能被1整除，38能被2整除，381能被3整除，一直到整个数能被9整除。这个数既可以用整除的性质一步步推出来，也可以利用计算机编程找到。

另一个有趣的事实是，在所有由 1 到 9 所组成的 362 880 个不同的九位数中，381 654 729是唯一一个满足要求的数！

幻方之幻

一个“三阶幻方”是指把数字1到9填入3×3的方格，使得每一行、每一列以及两条对角线的3个数之和正好都相同。图1就是一个三阶幻方，每条直线上的3个数之和都等于15。

图1

大家或许都听说过幻方这东西，但是并不知道幻方中的一些美妙的性质。例如，任意一个三阶幻方都满足，各行所组成的三位数的平方和，等于各行逆序所组成的三位数的平方和。对于上图中的三阶幻方，就有

816₂﹢357₂﹢492₂＝618₂﹢753₂﹢294₂

利用线性代数，我们可以证明这个结论。

天然形成的幻方

从1/19到18/19这18个分数的小数循环节长度都是18。像图2那样把这18个循环节排成一个18×18的数字阵，这将恰好构成一个幻方——每一行、每一列和两条对角线上的数字之和都是81。[4]

图2

一个小魔术

在一张纸上并排画 11 个小方格，叫你的好朋友背对着你（让你看不到他在纸上写什么），在前两个方格中随便填两个1到10之间的数。从第3个方格开始，在每个方格里填入前两个方格里的数之和。让你的朋友一直算出第 10 个方格里的数。假如你的朋友一开始填入方格的数是7和3，那么前10个方格里的数分别是：

现在，叫你的朋友报出第10个方格里的数，稍作计算你便能猜出第11个方格里的数应该是多少。你的朋友会非常惊奇地发现，把第 11 个方格里的数计算出来，所得的结果与你的预测一模一样！

其实，仅凭借第10个数来推测第11个数的方法非常简单，你需要做的仅仅是把第 10 个数乘以 1.618，得到的乘积就是第 11 个数了。在上面的例子中，由于249×1.618＝402.882≈403，因此你可以胸有成竹地断定，第11个数就是403。而事实上，154与249相加真的就等于403。

其实，不管最初两个数是什么，按照这种方式加下去，相邻两数之比总会越来越趋近于1.618——这个数正是传说中的“黄金分割”。

3个神奇的分数

1/49化成小数后等于 0.0204081632…，把小数点后的数字两位两位断开，前五个数依次是2、4、8、16、32，每个数正好都是前一个数的两倍。

100/9899等于 0.01010203050813213455…，两位两位断开后，得到的正好是著名的斐波那契（Fibonacci）数列1，1，2，3，5，8，13，21，…，数列中的每一个项都是它前面两个项之和。

而100/9801则等于0.0102030405060708091011121314151617181920212223…。

利用组合数学中的“生成函数”可以完美地解释这些现象产生的原因。