长期国债期货

长期国债期货

芝加哥期货交易所（CBT）有一种期货合约，要求交割面值为100000美元、距离到期或第一赎回日至少为15年的长期国债。图15.1对此进行了说明。

图15.1　长期国债期货

多年来，这种所谓的长期国债期货已经成为交易最活跃的期货合约之一。对于债券自营商、承销商、银行以及其他金融机构来说，这种期货合约作为一种套期保值工具非常具有吸引力。

长期国债期货的报价是按每100美元面值的价格报出的，精确到1/32美元。报出的价格是每份合约100000美元面值的一定的百分比。例如，如果报价是91- 10，即表示91000美元加上1000美元的10/32，即91000美元与312.50美元的和。这样，对长期国债期货的报价91- 10就等于91312.50美元。

交割日的期货价格

在交割日，期货价格必须等于交割商品的现货价格。如果可以用某种特定的债券对长期国债期货进行交割，套利会促使期货价格与现货市场的价格相等。如果期货价格太高，套利者就会做空期货，买进可交割债券，并用于期货合约的交割；如果期货价格太低，套利者就会做多期货，并在现货市场卖空债券，期货多头获得的债券被用于轧平空头。

实践中，有大量的合格债券可以用于长期国债期货的交割。可用于交割的债券数量如此之多，以致任何人都难以控制价格。这将在本章的后面部分进行讨论。在接下来的几部分中，我们假定有一种可交割债券，且没有盯市制度（这意味着期货价格和远期价格相同）。

交割日之前的期货价格

芝加哥期货交易所的长期国债期货合约与金属期货合约并不相同，原因是标的债券要支付息票。息票会影响期货价格。在讨论一般情形之前，我们来看下面几种情况。

1年后交割，可交割债券在2年后到期。对于这种情形，期货的现金流如表15.1所示。

期货价格F_0，1是在时点0观察到的在时点1交割的价格。F_0，1是息票和面值在时点1的价值，贴现率是第2期的远期利率f_0，2。也就是说，

表15.1　1年后交割与两期债券

通过简便的数学变换，我们可得到

这里，P_0，2是两期债券的现货价格，R_0，1是一期即期利率。期货价格与债券价格P_0，2在时点1的价值减去在时点1支付的息票。这里要减去时点1的息票，原因是期货的买主并不能得到这份息票。期货合约的买主只是有权利获得时点2支付的息票和面值。

举例来说，假定期限结构如下：R_0，1=4%，R_0，2=8%，这意味着f_0，2=12.15%。假定某可交割债券的息票是8美元，面值是100美元。债券的当前价格或者说现货价格是100.28美元。这就有，

1年后交割，可交割债券在3年后到期。这种情形的期货现金流如表15.2所示。

表15.2　1年后交割与三期债券

时点1交割的期货价格应该是时点2和时点3的现金流以适当的远期利率贴现后的值。亦即，

通过简便的数学变换，我们可得到

作为一个计算的例子，我们假定期限结构如下：R_0，1= 4%，f_0，2= f_0，3= 8%。假定债券息票是8美元，面值是100美元。从而得到，

1年后交割，可交割债券在n年后到期。这种情形的期货现金流如表15.3所示。

表15.3　1年后交割与n期债券

从时点2直到时点n，期货合约的买主收到息票支付，在时点n收到对债券的面值支付。期货价格就是这些现金流在时点1的价值：

从时点2直到时点n，做多期货的投资者有权利收到债券的现金流。为了求得时点1的价值，每笔现金流必须以适当的远期利率进行贴现。通过简单的数学变换，我们发现期货价格可以用债券的现货价格表示如下：

期货价格等于P_0，n（1+ R_0，1）- c。由于期货合约的交割日是在时点1，这个结果就是正确的。期货的买主支付的款项等于债券在时点1的价值再减去并未收到的时点1息票的价值。

d年后交割，可交割债券在n年后到期。这种情形的期货现金流如表15.4所示。

表15.4　d年后交割与n期债券

从时点d+ 1到时点n，期货合约的买主收到息票，在时点n收到对债券面值的支付。期货价格是这些现金流在时点d的价值。通过求每笔现金流在时点d的价值，我们可能导出远期价格。在时点d+ 1收到的息票c必须贴现一期到时点d，贴现率是f_0，d+1，贴现后在时点d的价值是c/（1+ f_0，d+1）。在时点d+ 2收到的息票c在时点d的价值是c/（1+ f_0，d+1）（1+ f_0，d+2）。一般情况下，我们有：

这一等式等价于下列等式：

这里，P_0，n是n期债券的现货价格，A_0，d是持续d期每期1美元年金的现值，R_0，d是d期的即期利率。远期价格等于息票为c、期限为n的债券的现货价格P_0，n再减去从时点1到时点d收到的c美元息票的年金的现值（即cA_0，d）得到的差与（1+ R_0，d）^d的乘积，这里乘以（1+R_0，d）^d是为了调整以反映现金流是在时点d收到的这样一个事实。

下面进行举例说明，假定期货的交割日是在2年后。可交割债券的期限是4年，息票率是8%。假定R_0，1是4%，R_0，2是6%，R_0，3是8%，R_0，4是10%，债券的当前价格是94.93美元。^①期货价格为：