牛顿力学的改造者们

图7.5　拉格朗日肖像

牛顿在《原理》中使用的是欧几里得《几何原本》中的几何学语言，现今大学课堂上学到的牛顿力学的代数形式是由一些数学家和天文学家在将牛顿力学应用于天体运动时发展起来的。牛顿力学的这项改造工作主要由法国的克莱洛、达朗贝尔（Jean－Baptiste le Rond d'Alembert，1717－1783）、拉格朗日（Joseph－Louis Lagrange，1736－1813）、拉普拉斯（Pierre Simon Laplace，1749－1827）、泊松（Siméon－Denis Poisson，1781－1840）、柯西（Augustin－Louis Cauchy，1789－1857）、瑞士的欧拉（Leonhard Euler，1707－1783）和德国的高斯（Carl Friedrich Gauss，1777－1855）等人完成。

欧拉首创了根数变易法，开创了摄动理论的分析方法，把代数方法全面引入到天体力学的计算，完善了月球理论。克莱洛用牛顿力学研究了地球的形状，用单摆的周期变化测量了重力的变化。他还研究了月亮的运动和金星的质量，修正了哈雷所预言的彗星回归日期。

出生于意大利的拉格朗日，在柏林工作了一段时间，于1787年被路易十六召到巴黎。1788年拉格朗日出版了他的巨著《分析力学》，全书采用纯代数的方法，没有一幅几何插图。

图7.6　拉格朗日点

拉格朗日在书里发展了牛顿的摄动理论，研究了两个大质量的天体外加一个小质量的天体即三体问题的轨道稳定性问题。拉格朗日提出在两个大质量天体的引力共振下，存在五个特殊的稳定点，其中三个点L1、L2、L3在两个主天体的联线上，另两个点L4和L5位于以两个主天体的联线为底边在两侧所作的两个等边三角形的顶点处。这五个点被称作“拉格朗日点”。

1906年，德国天文学家沃尔夫发现了一颗编号为588号的小行星，这颗小行星很不合群，不在它通常应该出现的小行星带中。它运行的速度非常慢，因此距离太阳非常远。一般小行星都以女神的名字来命名，但588号小行星太特殊了，它最后以特洛伊战争中的希腊英雄阿基里斯的名字命名，其含意所取就是阿基里斯自由散漫、不服管束、远离群体的个性。

观察证明，阿基里斯运行在木星轨道上，固定在超前木星60°的地方。同一年年底发现的617号小行星也在木星轨道上，但比木星落后60°。617号小行星被命名为帕特罗克卢斯，他是阿基里斯的亲密伙伴。

1907年又发现624号小行星在木星前60°处，它被命名为赫克托，他是特洛伊的王子，在战争中杀死帕特罗克卢斯后又被阿基里斯杀死。1919年发现的911号小行星位于木星前60°处，被命名为阿伽门农，这位希腊的众王之王、特洛伊战争中的希腊军统帅终于也被搬上了天。

更多的观测发现在木星前后60°处分别聚集了许多小行星，所有这些小行星后来都以特洛伊战争中的英雄人物来命名，因此这两群小行星被叫做“特洛伊群”。阿基里斯群和帕特罗克卢斯群分别与太阳和木星构成等边三角形的3个顶点，对应拉格朗日点的L4和L5两点。

到2010年2月为止，木星－太阳的特洛伊群小行星一共发现了4 076颗。其中位于L4点的小行星有2 603颗，L5点处有1 473颗。

除了木星－太阳的特洛伊群之外，在火星－太阳的特洛伊位置找到了4颗小行星，1颗在L4点，3颗在L5点；在海王星－太阳的特洛伊位置找到了6颗小行星，都在L4点处。

迄今为止在地球－太阳或者月球－地球的特洛伊位置上还没有发现小行星，但在1956年天文学家发现在地球－太阳的特洛伊位置上有星际尘埃大量聚集，最近的天文卫星观测证实在地球轨道上有围绕太阳的尘埃环存在，这个尘埃环与地球－太阳的特洛伊位置有密切关系。

拉格朗日还研究了太阳系的长期稳定性问题。当时的两项天文观测结果让人们为太阳系的稳定性担忧：一是木星的加速和土星的减速现象，这一现象从第谷时代已为人所熟知；另一个是哈雷提出的月亮从古代起就一直存在着的明显加速现象。这意味着，如果它们继续这样发展下去，木星就会沿螺线进入太阳，土星会逐渐离开太阳，而月亮则会落入地球，太阳系将会发生巨变乃至瓦解。

1774年，拉格朗日证明，在一级近似下，行星的轨道倾角和交点连线空间指向呈现周期性的振荡，周期长达几千年。一读到拉格朗日的证明，拉普拉斯立即用同样的方式分析了行星轨道其他方面的一些问题。

拉普拉斯的早年生活人们所知甚少。他18岁时被送到巴黎，带着将他介绍给达朗贝尔的信，但这位大数学家却拒绝见他。拉普拉斯就寄了一篇力学论文给达朗贝尔。这篇论文如此出色，以致达朗贝尔突然高兴做拉普拉斯的教父。

图7.7　拉普拉斯肖像

1785年，拉普拉斯发现了导致木星做长期加速运动和土星的减速运动的原因：该变化并非像欧拉曾经以为的那样是单向的，而是周期性的，其周期约为900年。它依赖于两个相互作用的天体（木星和土星）与太阳之间的位置关系。1787年拉普拉斯找到了月亮长期加速运动的原因。这是一个二级效应，起因于地球椭圆轨道偏心率的缓慢变小，这使得太阳对月亮的作用有所减小。在地球轨道的长周期变化中，当偏心率停止减小并开始转向增加时，这一加速效应就会发生逆转。到了1850年代，人们发现拉普拉斯的解释只说明了其中的一半加速量，另一半则应归因于由月亮引起的潮汐摩擦所造成的地球自转减慢的影响。

1796年拉普拉斯出版了他的《宇宙体系论》，在书中拉普拉斯向读者通俗地描绘了这样一幅太阳系图景：其内部的行星运动和几何参数在它们的平均值附近发生小幅度的长周期变化。拉普拉斯相信他已经证明了太阳系是一个稳定的、可自我调节的系统，在这方面它与生物界显然存在的自我调节是类似的。

在《宇宙体系论》的一则附录中，拉普拉斯提出了太阳系起源于一团星云的假说。他猜测太阳系开始是一团巨大的旋转着的星云，随着星云中无数粒子的相互吸引，行星及其卫星从中凝聚了出来。该假说可以说明所有行星和当时已知的卫星轨道的共向性和共面性。这是一项他本人也不怎么重视的猜测，却为他赢得不少名声。

如果说《宇宙体系论》是一本为普通公众所写的不需要数学知识的天文普及读物，那么拉普拉斯的《天体力学》则是一部让普通读者望而生畏的数理天文学巨著。《天体力学》从1799年到1825年间陆续出版，共五大卷16册。第一卷2册、第二卷3册于1799年出版，内容包括：首次提出“天体力学”（Celestial Mechanics）的名称；理论力学、天体力学的基本问题；均匀流体自转的平衡形状；潮汐、岁差、章动、月球天平动和土星环。第三卷2册于1802年出版，致力于行星和月球的摄动理论。第四卷3册于1805年出版，内容包括：木星伽利略卫星的运动；周期彗星的运动；三体问题特解；介质阻尼。第五卷6册于1825年出版，补充以上四卷，内容包括：地球自转和形状；球体的吸引和排斥；弹性流体的平衡和运动规律；行星表面流体的涨落；天体绕自己重心的运动；行星、彗星和卫星的运动。

拉普拉斯在《天体力学》中两次对太阳系稳定性作了详细的数学论证，他指出：“我们根据引力的理论进一步推算出行星（特别是木、土两星）运动的基本方程式，这些运动的差数有900多年的周期。木星和土星运动的差数，天文学家起初以为是很奇特的，因为不明白这些差数的规律和原因，许久以来好像它们和引力理论发生矛盾。但是由仔细的研究表明这些差数是可以从理论推导出来的，它们就成了理论真实性的最惊人的证明。”^[2]

在《天体力学》中拉普拉斯高超的数学分析技巧展露无遗。据说在书中拉普拉斯常用的一句口头禅是：从方程A“显而易见”可以得到方程B，而为了弄清这“显而易见”别人要花上几小时甚至几天的工夫。传说拿破仑翻遍了《天体力学》全书，把拉普拉斯叫去，问他为什么这本讲述造物主所创造的世界的书中从来不提造物主的名字。拉普拉斯回答说：“陛下，我不需要这个假设！”拉格朗日听到这话后说：“啊！可是它同样也是个美妙的假设呢，它解释了多少事情啊！”

图7.8　火星－木星间隙