婆罗门学派

婆罗门学派的天文学知识据称是受到印度的大神婆罗门（Brāhma）的启示而获得，该学派的名称也因此而来。婆罗门学派最基础的天文学文献是《毗昙摩诃历数书》（Paitāmaha－siddhānta），该书名也是源自婆罗门神的另一个称号毗昙摩诃（Pitāmaha）。该书大概写于5世纪早期，作为《五大历数书汇编》中的一种被保存下来，但并不完整。

首先《毗昙摩诃历数书》对一劫^[40]作了如下划分：每一劫共1 000个大时（Māhayuga，4，320，000年）分成14个Manvantara，其中每一个包含71个大时，这14个Manvantara依次把15个Sandhi隔开，每个Sandhi等于一个圆满时（Krtayuga，1，728，000年）。这样，

1劫＝14×71×4，320，000＋15×1，728，000＝4，320，000，000年

接着《毗昙摩诃历数书》给出了1劫当中日月五星七个天体以及它们的轨道远地点和交点的公转圈数，列表4.5所示。

表4.5　《毗昙摩诃历数书》各天体的周期关系

上表中因为天体的交点都作退行，所以交点的转数都标以负数。天体的转数除以1劫中的年数，不难算得天体的年平均运动速度，也列出在表4.5中。

《毗昙摩诃历数书》给出1劫中包含的天数为1，577，916，450，000——这样可算得年长为365.258 437 5天，还给出了1劫中包含的太阳年、太阳月、太阳日、恒星月、朔望月、闰月、太阴日、民用日等数目，根据以上给出的周期关系和数值，可计算出从劫初开始的积日数（c），根据这个积日数，利用公式4.8，可以求出天体在所求日的平黄经。

为了求得天体譬如行星的真黄经，需要进一步对行星视运动的不均匀性进行修正。为此，《毗昙摩诃历数书》给出了一个源自希腊的本轮—均轮几何模型，同时又保留了亚里士多德的同心球原则。在为求解经度构造了复杂的算法之后，《毗昙摩诃历数书》又分别构造了求解月亮、外行星和内行星纬度的理论。在解决这些问题的过程中，用到了大量的几何学和球面三角学知识。

《毗昙摩诃历数书》还提供了一些残缺不全的有关交食计算的理论，以及一节关于月亮、行星和恒星初现的讨论，这些理论和讨论比希腊化巴比伦时期的同类讨论有明显进步。

婆罗门学派的第二部代表作是由婆罗门笈多（Brahmagupta，598－668AD）于公元628年撰写完成的《婆罗门修正历数书》（Brāhmasphut·asiddhānta）。该书共25章，反映了当时印度天文、数学的最高成就。

在《婆罗门修正历数书》的第1章中可以看到，婆罗门笈多对一劫的划分与《毗昙摩诃历数书》中的做法相同，求积日的办法也与后者类似，但也提出了一些改进的算法。《婆罗门修正历数书》求算行星平黄经的方法同样也是基于公式4.8，不过婆罗门笈多在此基础上设计了一些简便算法。在第2章中所采用的行星运动模型与《毗昙摩诃历数书》中所采用的完全相同，但婆罗门笈多采用了不同的模型参数，如本轮半径等，在算法构造上也有所改进。在第13章中婆罗门笈多增加了一些求解天体平黄经和真黄经的方法。

《婆罗门修正历数书》的第4章主要处理了月食理论。婆罗门笈多已经明确区分了初亏、食既、食甚、生光、复圆等五个阶段。他求月亮黄纬的方法与《毗昙摩诃历数书》中的做法相同，但提出了新的求太阳、月亮和地球影锥直径的方法。求月食食长的方法则与《宝利沙历数书》中的相同。第5章处理了月亮的视差及其对交食的影响，以求得准确的食长、食分。

在第6章中婆罗门笈多处理了行星的见、伏。第7章处理月亮的明亮部分。第8章处理月亮的阴暗部分。第9章解决行星互掩问题。其中首要的问题是求解行星的黄纬，还要计算行星的视直径。第10章主要用于解决行星掩恒星问题。在这里婆罗门笈多使用极黄道坐标来表示星宿的宽度和距星位置。

第15章主要对从太阳上中天到太阳过卯酉圈之间的时间间隔给出了一些新的处理。在第16章中婆罗门笈多给出了以6个月或177天为周期来预测交食的方法，他列出了177天里太阳、月亮、月亮轨道远点和交点的平黄经增量。在第18章中婆罗门笈多使用了一种解不定方程的方法来求解行星的黄经。在第21章中采用了《毗昙摩诃历数书》中的方法来计算行星轨道的周长，在这里婆罗门笈多采用的π值也为，但他给出了不同的太阳、月亮和地球直径，分别为：6 522、480和1 581由旬^[41]。

最后的第25章实际上是一部缩写的小历（karana），它的历元是公元628年3月21日。在这里婆罗门笈多给出了一份新的正弦表，也给出了与第1章中稍有不同的行星年平均运动速度。

从上述对《婆罗门修正历数书》的概述可知，婆罗门笈多在书中处理了古代各文明所关心的天文学当中的几乎全部基本问题。为了解决这些问题而引入的数学方法，特别是正弦函数、球面三角学等，处于当时的领先地位。

《婆罗门修正历数书》成为婆罗门学派的天文学经典，该学派以后的几种著作都与它有渊源关系。大约在七世纪晚期到八世纪早期，一部被冠名为《摩诃悉檀多》（Mahāsiddhānta）的历数书主要在《婆罗门修正历数书》的基础上撰写而成。该书是八世纪晚期阿拉伯天文学家阿尔法扎里（al－Fazārī）所编撰的一部《印度历数书》（Zīj al－Sindhind al－kabīr）所依据的原本，因而成为了伊斯兰天文学中印度传统的源头，并通过巴斯的阿德拉德于1126年从阿拉伯语翻译成拉丁语而对西欧科学产生了重要而深远的影响。

该学派其他的著作大多以小历的形式被撰写出来。如婆伽拉伽（Bhojarāja，1005－1056AD）的Rājamrgāka，历元为1042年2月21日。婆伽拉伽做出的一项变动是改变了行星的平均运动参数，该学派以后的极大多数小历和天文表都采用他的改动。婆伽拉伽还是迄今已知的最早一位承认岁差的婆罗门学派天文学家。在其他方面，总起来讲，婆罗门学派的天文学传统在1500年左右的时间里没有什么太大的变化。