主成分分析法概述

1）主成分分析的概念

主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）[1]也称主分量分析，旨在利用降维的思想，把多指标转化为少数几个综合指标。 在实证问题研究中，为了全面、系统地分析问题，我们必须考虑众多影响因素。 这些涉及的因素一般称为指标，在多元统计分析中也称为变量。 因为每个变量都在不同程度上反映了所研究问题的某些信息，并且指标之间彼此有一定的相关性，因而所得的统计数据反映的信息在一定程度上有重叠。 在用统计方法研究多变量问题时，变量太多会增加计算量和增加分析问题的复杂性，人们希望在进行定量分析的过程中，涉及的变量较少，得到的信息量较多。 主成分分析在综合评价中能够较好地消除各个指标不同量纲的影响，消除由各指标之间相关性所带来的信息重叠，尤其是它能够克服综合评价中人为确定各指标权重系数的问题，在综合评价中显示了它的优越性。

2）主成分分析法的基本思路

主成分分析法是一种数学变换方法，它把给定的一组相关变量通过线性变换转成另一组不相关的变量，这些新的变量按照方差依次递减的顺序排列。 在数学变换中保持变量的总方差不变，使第一变量具有最大的方差，称为第一主成分，第二变量的方差次大，并且和第一变量不相关，称为第二主成分。 依次类推，I个变量就有I个主成分。

具体的，设Li为p维正交化向量（Li*Li＝1），Zi之间互不相关且按照方差由大到小排列，则称Zi为X的第I个主成分。设X的协方差矩阵为Σ，则Σ必为半正定对称矩阵，求特征值λi（按从大到小排序）及其特征向量，可以证明，λi所对应的正交化特征向量，即为第I个主成分Zi所对应的系数向量Li，而Zi的方差贡献率定义为λi／Σλj，通常要求提取的主成分的数量k满足Σλk／Σλj＞0．85。

3）应用领域

主成分分析作为数理统计中一个常用方法，主要用在指标综合评价中，也可以应用到系统分析、统计分析、证券投资、医院事务管理、经济评价、教学质量评价、财务管理与分析等众多领域。