样本方差是怎么回事？

由于

因此，从平均意义上来讲，s2的值恰好等于总体方差σ2的值，于是称s2是σ2的无偏估计.

所谓s2是σ2的无偏估计，其含义是，尽管s2的值会随样本值的改变而改变，但是s2的取值总是环绕在总体方差σ2的真值左右摆动.即用s2去估计σ2时虽然会产生偏差，其偏差时正时负，时大时小，但是多次使用后所有偏差之和的平均值为零，如图3.2（a）所示.

图3.2　无偏估计与有偏估计的含义

（×表示s2和的值，·表示σ2的值）

样本方差s2的计算比较繁琐，因此人们设法加以改进.

设有样本A：x1，x2，x3，…，xn，经过平移后得到样本B：y1，y2，y3，…，yn，其中yi＝xi＋a，i＝1，2，3，…，n，a为平移量.于是样本B的均值和方差分别是

这个结果说明，样本数据经过平移后其方差不发生改变.这是因为平移样本数据，虽然会使样本平均值发生改变，但是样本数据内部相互之间的相对距离不会改变，因此不会改变离差平方和及样本方差的值.利用这个结论，可以通过适当选择平移量使计算过程得到简化.

例2　设有样本A：94，95，98，99，106，108，计算样本方差.

解　将样本A中各个数据都减去100后得到

样本B：-6，-5，-2，-1，6，8.

很容易算出样本B的均值为＝0，于是方差为

由于因此样本A的方差为33.2.

因为样本A经过平移后，所有的数字都变小了，所以给计算带来方便.

由于离差平方和Q可作如下变形：

因此，也可以利用公式（3.3）和（3.4）简化样本方差的计算.

方差在生产实践和经济生活等方面有广泛的应用.下面举一例说明方差在风险投资方面的应用.

例3　某公司有一笔资金，可以投入房地产和开饭店两个项目，其收益率都与市场状况密切相关.如果将未来市场划分为好、中、差3个等级，其发生的概率分别为0.3，0.6，0.1.经过市场调研，该公司认为购置房地产的年收益X（万元）和开饭店的年收益Y（万元）在好、中、差3个等级的分布分别如表3.2、表3.3所示.试问：该公司应将这笔资金投入哪个项目为好？

表3.2　购置房地产的年收益分布

表3.3　开饭店的年收益分布

解　所谓投入哪个项目为好，主要取决于哪个项目的年收益高.由于市场有风险，收益大小事先无法完全确定，因此应从平均收益和收益波动两个方面进行考虑.

先计算平均收益（数学期望）：

E（X）＝120×0.3＋50×0.6-60×0.1＝60（万元）.

E（Y）＝80×0.3＋60×0.6-10×0.1＝59（万元）.

从平均收益考虑，投入房地产比较有利，可多收益1万元.

再来计算它们的方差：

σ2（X）＝（120-60）2×0.3＋（50-60）2×0.6＋（-60-60）2×0.1

＝2580，

σ2（Y）＝（80-59）2×0.3＋（60-59）2×0.6＋（-10-59）2×0.1

＝609.

标准差

标准差越大，收益的波动就越大，投资的风险也越大.投资房地产的风险比开饭店的风险要高出一倍，而平均收益则相差不大.为了多收益1万元，要冒很大的风险，实在不值得.明智的选择是，宁可收益略少一些，也要避开高风险.因此公司应将资金投入开饭店.