方差与标准差

刚读中学的小明发现，自己的手表和家中的时钟计时都不太准.为了比较手表和时钟哪个计时更准确一些，他测量了在一周内手表和时钟每天的误差，所得数据（以s为单位）如表3.1所示.

表3.1　手表和时钟的走时误差

小明想根据手表和时钟的平均误差进行比较.由计算可知，手表和时钟在一周内的平均误差都是每天2s，无法区分哪个走时更准确.于是小明陷入了困境.小明的爸爸是一位数学老师，想趁此机会引导小明多学一些统计知识，因此就有了下面的父子对话，实际上也是一次师生对话.

师：虽然手表和时钟在一周内的日平均误差相同，可是，它们每天的走时误差并不相同.因此，根据表中的数据，仍然可以找到比较它们走时准确度的方法.

生：我知道了.先计算手表每天的误差与平均误差之间的差，然后将这些差相加求和.再按同样的方法，算出时钟每天的误差与平均误差之差的和.最后比较这两个和的大小，就可区分出手表和时钟的优劣.

师：这样计算有一个问题，每天误差与平均误差的差有正有负，在相加时会相互抵消，无法将这些“差”积累起来，从而会影响到最后的结果.例如，有两组数据如下：

（1）10，7，0，-7，-10；

（2）5，2，0，-2，-5.

显然，这两组数据的平均值都是0.不妨将数据与平均值的差称为离差，则数据（1）的离差之和为10＋7＋0＋（-7）＋（-10）＝0，数据（2）的离差之和为5＋2＋0＋（-2）＋（-5）＝0.虽然这两组数据的离差之和同样为0，但是这两组数据的分布并不相同，数据（1）偏离平均数的程度要大很多.

生：只要将每个离差取绝对值，然后再相加求和，就可克服正负抵消的缺陷.

师：这的确是一个好办法，可是含有绝对值的式子会给计算带来不方便.如何克服这个新产生的问题呢？

生：如果先将每个离差加以平方，然后再求和，怎么样？

师：这样得到的是离差平方和，确实能很好地反映一组数据偏离其平均值的程度.利用这个方法你已能解决上述手表与时钟的比较问题.

生：手表的离差平方和为

（8-2）2＋（5-2）2＋（-2-2）2＋（0-2）2＋（2-2）2＋（-3-2）2＋（4-2）2＝94，

时钟的离差平方和为

（6-2）2＋（-3-2）2＋（-5-2）2＋（3-2）2＋（10-2）2＋（-4-2）2＋（7-2）2＝216，

由于手表的离差平方和小于时钟的离差平方和，因此手表的计时比时钟准确.

师：这个结论也符合我们直接观察的结果.根据表3.1，手表的走时误差每天最多快8s，最慢慢3s，振幅为11s；时钟的误差，每天最多快10s，最慢慢5s，振幅为15s；时钟的走时更加不稳定.

生：真高兴！在不知不觉的讨论中，我已学会比较两组数据的离散程度.

师：还不能这样说.上面讨论的手表和时钟的走时误差问题有特殊性，两组数据的个数恰好相同，如果两组数据的个数不相同，离差平方和会失去比较数据离散程度大小的公平性.因为数据个数多时，计算离差平方和时要相加的项也多，一般情况下，和也会大一些.为了消除数据个数多少对离差平方和的干扰，应改用离差平方和的平均值来度量数据的分散程度.这就是统计中的方差.

我们将一组数据中的各个数据与该组数据平均数之离差平方和的平均数称为方差，一般用表示.方差的计算公式为

其中n表示这组数据的个数，xi（i＝1，2，…，n）表示各个数据，表示这组数据的平均数，方差反映了一组数据与其平均值之间的离散程度.

例1　比较下面两组数据的离散程度：

（1）1，5，9；

（2）1，2，3，4，5，6，7，8，9.倍，两组数据的离差平方和是不可比的.为了消除数据个数的干扰，改用离差平方和的平均数，即方差进行比较.可以算得数据（1）的方差为10.67，数据（2）的方差为6.67，前者大于后者；因此，第1组数据更加分散，这与我们的直观感觉一致.

这两组数据的平均数都是5，数据（1）的离差平方和为32，数据（2）的离差平方和为60，似乎数据（2）比（1）更加分散，但是这个结论与我们的直观感觉不相符，这从图3.1可以看得更加清楚.其原因在于，数据（1）只有3个数据，数据（2）却有9个数据，是前者的3

图3.1　两组数据

并称这个方差的算术平方根为标准差.