对社会养老保险债务精算模型及隐性债务的形成机理的复习

10.1　对社会养老保险债务精算模型及隐性债务的形成机理的复习

10.1.1　几个一般函数

（1）在时间t整个群体的年工资总额函数

设群体由α岁时加入计划的成员组成，r是退休年龄。对于在时间t时达到x岁的人，其加入计划的时间为t－x＋α，则对于在时间t时存活到x岁的人数用L（x，t－x＋α）表示。设x岁成员在时间0的年薪为W（x），α≤x＜r，则在时间t的x岁成员预期年薪为

其中：g（t）为反映通货膨胀及生产力变化的时间因子。

在时间t介于年龄x与x＋dx之间的L（x，t－x＋α）dx个成员的年薪合计为

L（x，t－x＋α）W（x）g（t）dx

在时间t整个群体的年工资总额为

设退休金的初始年支付额为最终年薪的某个百分比，比例因子为T，则对于在时间t的退休者，预定的退休金年支付额为

而对于在时间t的x岁已退休者，预定的退休金年额支付为

其中：h（x）是退休金的调整因子。

（2）期末基金累积函数

职工从r岁退休开始且x岁时年收入率为h（x）的连续支付生存年金的精算现值为

在时间t整个群体按期末基金累积方法所需的一次性醵出额，记为^TP（t），它是在时间t所有r岁生存成员的未来退休金的精算现值关于时间的比率，^TP（t）dt是在时间t与t＋dt之间的醵出金总额。在时间t与t＋dt之间达到r岁的人数为L（r，t－r＋α）dt，则

令g（t）＝e^τt，h（x）＝e^{β（x－r）}，δ，τ，β分别表示利息力，工资增长力和退休金调整力

则（10.5）式变为

（10.6）式变为

（3）精算债务的积存函数

期末积累函数表示在退休r岁时一次性确认的退休金债务，实际上未来待付退休金债务不是在达到退休年龄r时一次性确认，而是在计划参加者的工作期间就逐步确认。因此，为表达始于r岁的退休金之精算债务的积存，必须引入积存函数M（x），它是未来退休金之精算现值按精算成本法在x岁时应计的精算成本比例。

M（x）是非减右连续函数，且0≤M（x）≤1，且有

10.1.2　有关在职成员的基本函数推导

（1）在职群体未来退休金在时间t的精算现值（αA）（t）

在时间t，在职群体的未来退休金的精算现值记为（αA）（t）。由于在时间t的L（x，t－x＋α）dx个介于年龄x与x＋dx之间的成员在r－x年后应提期末基金累积成本为^TP（t＋r－x）dx，所以

（2）精算积存负债（αV）（t）

对于积存函数M（x）的精算成本方法，在职群体在时间t的精算积存负债为

（3）未来正规成本精算现值（Pα）（t）

由于在时间t介于年龄x与x＋dx之间的L（x，t－x＋α）dx个成员在r－x年后退休时的期末基金累积成本为^TP（t＋r－x）dx。这些成员从年龄y到y＋dy（x≤y＜r）的正规成本为：

e^{－δ（r－y）T}P（t＋r－x）dxM′（y）dy

现值为

因此，在职群体的未来正规成本精算现值为

公式（10.12）即表明：

在职成员在时间t的精算负债

　＝在职成员未来退休金的精算现值－未来正规成本的精算现值

10.1.3　有关退休成员的基本函数推导

在时间t介于年龄x与x＋dx之间的L（x，t－x＋α）dx个成员在x－r年之前退休（x≥r），退休时的初始退休金年总额为TW（r－1）g（t－x＋r）。对还活着的退休者的每单位初始退休金，剩余的精算现值为

对于x≥r，由于M（x）＝1，故退休群体的未来正规成本精算现值为零，即（P_r）（t）＝0。这样退休成员的精算积存负债等于他们的未来退休金精算现值，即

10.1.4　社会养老保险的精算债务和隐性精算债务的精算模型

对于全社会的社会养老保险的精算债务自然包括在职成员和退休人员两者的精算债务，因此由（10.15）式和（10.12）式，得出总体精算债务为

假设在时间t分配于在职群体的基金为（αF）（t），精算积存（应计）负债的未累积部分为（αV）（t）；分配于退休群体的基金为（rF）（t），精算积存负债的未累积部分为（rV）（t），则整个群体精算积存负债的未累积部分为

V（t）即是我们所说的隐性精算债务。