电场强度的计算

1．点电荷的电场

根据库仑定律和电场强度的定义，可得到点电荷在空间产生的电场强度．设真空中有一静止的点电荷q，则距q为r的P点处的试验电荷q0受到的电场力为

式中er是由点电荷q指向P点的单位矢量，由电场强度定义式（9.2）可得P点的场强为

由上式可知，点电荷q在空间某点所激发的电场强度的大小与点电荷的电荷量q成正比，与点电荷q到该点距离r的平方成反比．如果q为正电荷，可知E的方向与er方向一致；如果q为负电荷，E的方向与er的方向相反，如图9.3所示．

图9.3　点电荷的电场强度

2．点电荷系的电场　场强叠加原理

由电场强度的定义得P点场强为

可见，点电荷系在空间任一点激发的场强等于各个点电荷单独存在时在该点所激发的场强的矢量和．这就是场强叠加原理．

例9.1　计算电偶极子中垂线上一点的电场强度．

图9.4　电偶极子的电场

方向分别沿点电荷+q、-q到P点的连线，如图9.4所示．由矢量合成法可得P点的总场强E沿x轴和y轴的分量为

其矢量式为

3．电荷连续分布的带电体的电场

若带电体的电荷是连续分布的，求解空间各点的电场分布时，需要用微积分的方法．可以设想把带电体分割成许多微小的电荷元，每个电荷元都可以视为点电荷，如图9.5所示．任一电荷元dq在P点产生的电场强度为

上式为矢量积分式，具体计算时，可以求出它在各坐标轴上的分量，然后分别积分求和．

图9.5　带电体的场强

为描述电荷的分布，引入电荷密度的概念．电荷的分布一般有三种模型．

式中dq为体积元dV所带的电量．

下面举例说明电场强度的计算．

例9.2　半径为R的均匀带电细圆环，带电量为q（设q＞0），如图9.6所示．试计算圆环轴线上距环心为x的P点的电场强度．

图9.6　均匀带电圆环轴线上的电场

它在P点产生的电场强度方向如图示，大小为

其中θ为dE与x轴的夹角

故

E的方向沿x轴远离环心，若q为负电荷，则E的方向沿x轴指向环心．

此结果表明远离环心处的电场与环上电荷全部集中于环心的一个点电荷所激发的电场相同．

例9.3　半径为R的圆盘均匀带电，面电荷密度为σ，求圆盘轴线上距盘心为x的P点的电场强度．

图9.7　均匀带电圆盘轴线上的电场

dE的方向沿x轴．由于各细圆环在P点产生的场强方向都相同，所以圆盘轴线上P点的场强大小为

场强的方向沿圆盘轴线，当σ＞0时，场强沿轴线方向远离盘心；当σ＜0时，场强沿轴线方向指向盘心．

带电圆盘可看成一个电荷集中于盘心的点电荷．

图9.8　均匀带电直线的电场

将此结果代入Ex、Ey的积分式中，得

则P点的电场强度矢量式为