色散对光通信的影响

1.光脉冲传播方程

设光纤中的光信号由单色波或准单色波经信号调制得到。对于强度调制，光信号可表示为

其中，ex是x轴的单位矢量，即设光波是线偏振波。A（z，t）是信号的包络，是光载波中心频率ω0的慢变函数。φ（x，y）是光场的横向分布函数，β0是光载波的纵向相位常数。将式（6.4.1）的光信号在光载波中心频率ω0附近做傅里叶变换：

即信号包络函数A（z，t）的傅里叶变换是：

其中，Δω＝ω－ω0。由式（1.1.15），介质中的频域波动方程是

其中，k＝2π／λ是真空中的波矢。将式（6.4.2）第二式代入式（6.4.4），得

由于A（z，t）是z的慢变函数，且β0很大，上式中的项可以忽略。显而易见，上式可分为横向和纵向两个方程：

其中，式（6.4.5）就是前两章研究过的光纤中模式场的波动方程，第二式是光信号的包络函数A（z，t）沿纵向的变化方程。满足条件Δω＝ω－ω0≪ω0的信号称为窄带信号。对于窄带信号，Δβ＝β－β0≪β0，即有（β2－β20）≈2β0Δβ，于是，可将式（6.4.6）写成

将相位常数β（ω）在光载波中心频率ω0附近展开成泰勒级数：

其中，βn＝将式（6.4.8）代入式（6.4.7），得

将上式做傅里叶逆变换，并忽略β3以上的高次项，得

这就是色散介质中光信号的传播方程，也就是光信号包络的传播方程其中，

可见，β1是光载波的群时延，即群速度的倒数，而β2是群时延对频率的导数，称为群速度色散（GVD），其物理意义是单位频率间隔的两个光波走过单位距离的时间差，单位是ps2／km。若β2＞0，则频率增大时群时延τg增大，群速度υg减小，这称为正常色散。若β2＜0，则频率增大时群时延τg减小，群速度υg增大，这称为反常色散。群速度色散β2与单模光纤的色散系数D（λ）〔见式（6.2.1）〕的关系是

为了便于计算，引入所谓本地坐标系，它以群速度υg相对于实验室坐标系运动，其时间坐标为

称为本地时间。显然，脉冲信号的中心位置为z0＝tυg，脉冲信号中心位置的本地时间总是T＝0。对于脉冲前沿，T＜0，对于脉冲后沿，T＞0。

注意到

在本地坐标系中，光信号传播方程（6.4.9）是

2.传播方程的形式解

为用傅里叶变换求式（6.4.12）的解，先利用脉冲峰值P0将光信号包络A（z，T）归一化：

将上式代入式（6.4.12），则归一化包络U（z，T）满足方程

对包络U（z，T）做傅里叶变换：

则上式变为

这个方程的解是

其中，U（0，ω）是输入端信号U（0，T）的频谱函数，即

而U（z，ω）是信号传到z点的频谱函数。式（6.4.15）表明，由于存在群速度色散β2，信号中的不同频率的分量在走过相同距离后有不同的相移，从而导致信号的畸变。将式（6.4.15）代入式（6.4.14），得本地坐标系中的归一化包络：

3.高斯光脉冲在色散介质中的展宽

作为一个例子，下面来讨论高斯光脉冲在色散介质中的展宽。

设输入的光信号为下面的高斯光脉冲

其中，T0是脉冲的半宽度（即脉冲功率降为1／e的T值）。将式（6.4.18）代入式（6.4.16）得

再将上式代入式（6.4.17），得

由于

其中，LD＝称为光纤的色散长度，得

令

并设tanφ≈φ，得

其中，相位

图6.4.1　高斯脉冲的展宽情况示意图

在推导式（6.4.21）的过程中应用了关系式tan－1x≈x。式（6.4.21）中的“∓”号在β2＞0时取负号，β2＜0时取正号。

式（6.4.20）表明，高斯脉冲在传播一段距离z后仍是高斯脉冲，其半宽度如式（6.4.19）所示。显然，当z＝LD时，T1＝T0。

高斯脉冲的展宽情况如图6.4.1所示。图中从上到下分别是z／LD＝0，2，4时的脉冲包络曲线。由式（6.4.20）式可知，高斯脉冲在展宽的同时还产生了如式（6.4.21）所示的相位。由式（6.4.21）得

这种由于光源（如激光器）温度变化或介质色散引起的光信号相位随时间的变化称为瞬时频偏或频率啁啾。式（6.4.22）的δω是时间T的一次函数，故称线性啁啾。在正常色散区，脉冲前沿（T＜0）频率向下啁啾，脉冲后沿（T＞0）频率向上啁啾。反常色散区的啁啾与正常色散区相反。所以，式（6.4.19）描述的高斯脉冲展宽的物理原因是：在介质正常色散区，电磁波的高频成分群速度较慢，低频成分群速度较快，脉冲前沿因频率向下啁啾低于后沿，因而传播速度快于后沿，故脉冲展宽。反之，在反常色散区，电磁波的高频成分群速度较快，低频成分群速度较慢，脉冲后沿频率因向下啁啾低于前沿，因而传播速度慢于前沿，故脉冲展宽。

如果输入的高斯脉冲带有（激光器温度变化引起的）初始啁啾，即

其中，C称为初始啁啾参数，而

是输入相位因子。显然，式（6.4.18）是上式在C＝0时的特例，故称为无啁啾高斯脉冲。由式（6.4.24）可知，当C＞0时，δω＝CT／T20，脉冲后沿（T＞0）频率向上啁啾，δω＞0；脉冲前沿（T＜0）频率向下啁啾，δω＜0。C＜0时的情况与C＞0时相反。C＞0时的啁啾称为正啁啾，C＜0时的啁啾称为负啁啾。

将式（6.4.23）代入式（6.4.16），得

此信号强度降为中心处的1／e的谱宽为

显然，无初始啁啾时，ΔωT0＝1。由于有了初始啁啾，频谱被展宽为原来的倍。若测量出T0和Δω，则可由式（6.4.26）得到啁啾参数C。将式（6.4.25）代入式（6.4.17），得

可见，有初始啁啾的高斯脉冲在传播过程中仍保持为高斯脉冲，但脉宽被展宽，展宽因子为

显然，当C＝0时式（6.4.28）就是式（6.4.19）。由式（6.4.28）可知，初始啁啾对脉冲展宽速度的影响取决于Cβ2的符号。若Cβ2＞0，展宽将因初始啁啾的存在而加快，这相当于正常色散与正啁啾相结合或反常色散与负啁啾相结合。若Cβ2＜0，则在初始阶段脉冲被压缩然后再被展宽。将式（6.4.28）对z求导，并令其等于零，得到一个方程，解此方程，得到一个长度值：

图6.4.2　脉冲宽度与传输距离的变化关系图

在此位置处脉冲最窄，其宽度为＝在β＞0条件下，脉冲宽度与传输距2离的变化关系如图6.4.2所示。在Cβ2＜0条件下，脉冲的初始窄化是因为：由式（6.4.22）可知，色散引起的啁啾与传播距离成正比。在脉冲传播的初始阶段，初始啁啾与由色散引起的啁啾相互抵消，在脉冲最窄处恰好完全抵消。过了zmin处以后，色散引起的啁啾大于初始啁啾，导致脉冲展宽。

4.色散对通信容量的限制

色散使光脉冲在传播过程中展宽，这已成为对数字光纤通信容量的基本限制。

如前所说，虽然在传播过程中高斯脉冲被展宽，但即使是有初始啁啾的高斯脉冲在传播过程中仍保持为高斯脉冲，而其他形状的脉冲在传播过程中将不再保持最初的形状。任意形状脉冲的宽度用方均根脉宽σ表示，其定义是

其中，

对于高斯脉冲，初始方均根脉宽与T0之间的关系是σ0＝T0／。对于任意形状的脉冲，经过冗长的推导，可得到方均根脉宽的展宽因子

如果忽略三阶色散β3，式（6.4.30）即为式（6.4.28）。

如果考虑到光源的非单色性，设光源的光谱为高斯光谱，谱宽为Δωs＝Δλ，其中sΔλs是以波长表示的光源谱宽，则高斯光脉冲的展宽因子是

其中，V＝2σsσ0，σs是高斯光源的方均根谱宽，单位是Hz。

设光纤系统的比特传输速率为B，传输距离为L，则乘积BL称为传输容量。下面，根据式（6.4.31）来考虑色散对通信容量的限制。

（1）光源谱宽的限制

设光源谱宽远大于信号的谱宽，即V＝2σsσ0≫1。忽略三阶色散，那么，输入的无初始啁啾的光脉冲传播距离为L时，脉冲宽度是

其中，D＝－是光纤的色散系数，σλ＝－是以波长表示的光源的方均根谱宽。实验和理论证明，为保证接收端不出现严重的误码，接收端光脉冲的方均根谱宽不能大于信息比特周期的四分之一，即σ≤TB／4＝1／4B，或者说，4Bσ≤1。此条件可保证接收端光脉冲的不少于95%的能量包含在信息比特时隙以内。设输入脉冲的谱宽可以忽略，即σ0≪σ，则有

这就是估算色散对宽谱光源系统传输容量影响的基本公式。

零色散波长在λ0＝1.31μm附近，在1.55μm处有较高正色散值的光纤称为常规光纤。常规单模光纤在1.55μm处的色散系数D（λ）＝16ps／km·nm。如果光源谱宽σλ＝1nm，则BL＜15.6Gbit／s·km。为提高传输容量，可采取两条措施：一是采用窄线宽光源，二是采用色散位移光纤，其零色散波长在1.55μm附近。当然，若光源谱宽可与信号谱宽相比拟时，条件V≫1已不满足，式（6.4.33）也就不成立。在零色散波长附近，二阶色散可以忽略，即可令β2≈0，而三阶色散成为主要限制因素。设β2＝0，C＝0，V≫1，由式（6.4.31）得

其中是零色散波长附近光纤的色散斜率，推导如下：

由于

令β2＝0，有

由条件4Bσ≤1，得

设σλ＝1nm，S＝0.1ps／nm2·km，则得BL≤3.5Tbit／s·km。

（2）信号谱宽的限制

设系统光源线宽足够窄，使V≪1，在忽略高阶色散和无初始啁啾条件下，由式（6.4.31）得

显然，若采用条件4Bσ≤1时，不能取σ0＝0。在信号谱宽远大于光源线宽时，脉冲的初始宽度应有一个最佳值，它使在给定条件下输出的脉冲最窄。将式（6.4.34）对σ0求导，并令其等于零，得此最佳值为σ0＝ 。此时，输出脉宽为σ＝。根据条件4Bσ≤1，得

这就是估算色散对窄线宽光源系统传输容量影响的基本公式。

若系统工作在光纤的零色散波长附近，可令β2＝0，则在V≪1，C＝0条件下，由式（6.4.31）得

式（6.4.36）在σ0＝（β3L／4）时有极小值。利用条件4Bσ≤1，得到

若β3＝0.1ps3／km，当传输距离为100km时，比特率达150Tbit／s。

（3）脉冲初始啁啾的影响

图6.4.3　传输容量BL随啁啾因子C的变化曲线图

在以上讨论的光源谱宽和信号谱宽占主导作用的两种情形中，都没有考虑脉冲初始啁啾的影响。但在实际的传输系统中，若采用对半导体激光器直接调制的信号输入法，脉冲的初始啁啾是不可避免的。一般地说，脉冲的初始啁啾使传输容量BL下降，但如前所说，当β2C＜0时，在一定距离内脉冲被压缩。因此，有可能存在初始啾时传输容量反而上升。在存在初始啁啾时，设高斯脉冲的初始脉宽T0＝125ps，脉冲展宽因子为1.2，即T1＝1.2T0，则传输容量BL随啁啾因子C的变化曲线如图6.4.3所示。

图中的m是高斯脉冲或超高斯脉冲的阶数，β2＝－20ps2／km是常规单模光纤在1.55μm处的色散值。由图可见，啁啾因子C≈1时BL达到极大值，约为3 000Gbit／（s·km），而当C≈－6时（图中未画出）BL仅为100Gbit／（s·km）。对半导体激光器直接调制时，其啁啾因子C在－6～－5范围内。所以，直接调制的频率啁啾使常规单模光纤在1.55μm处传输容量比无啁啾时几乎低一个数量级。为克服啁啾对传输容量的限制，可采取的措施有两个：一是减少光纤的色散值，最好将光纤零色散波长移到1.55μm附近；二是采用外调制技术将啁啾因子C减到最小。